Градусная мера одного из углов равнобедренной трапеции равна 150°Длина окружности, вписанной в эту трапецию, равна 8π см. Тогда чему равна длина средней линии трапеции?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть основание равнобедренной трапеции равно a, а боковая сторона равна b. Тогда длина дуги, соответствующей углу в 150°, равна L = (150/360) * 2πr = 5π. Здесь r - радиус окружности, вписанной в трапецию.

Так как длина дуги равна 8π, то 5πr = 8π, следовательно, r = 8/5.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: c = (a + b)/2.

Найдем основание a. Разделим трапецию на два треугольника соседние основания которых образуют среднюю линию трапеции. Тогда один из треугольников будет равнобедренным треугольником с углом 150° при основании a. Таким образом, получаем tan(75°) = a/2r => a = 2r tan(75°) = 2(8/5)*(√3+1).

Теперь найдем боковую сторону b. Заметим, что треугольник с вершиной в центре окружности вписанной в трапецию и основанием b также является равнобедренным, поскольку угол при вершине равен 150°, и он равен по значениям сторон b и r. Тогда a = b + 2r.

Теперь подставим найденное a и r в это уравнение: 2(8/5)(√3+1) = b + 2(8/5). Отсюда находим b = 2/5 (√3 + 1).

И, наконец, получаем c = (2(8/5)(√3+1) + 2/5 * (√3 + 1))/2 = (16√3 + 8 + 2√3 + 1)/10 = (18√3 + 9)/10 = 1.8√3 + 0.9.

Итак, длина средней линии трапеции равна 1.8√3 + 0.9 см.