Высота правильной треугольной пирамиды равна h, а двухгранный угол, ребром которого является боковое ребро пирамиды равен 2ф найдите объем пирамиды

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим основание правильной треугольной пирамиды как треугольник ABC, высоту как h, боковое ребро как a и угол 2ф.

Так как пирамида правильная, то боковая грань является равнобедренным треугольником со сторонами a, a, h и углом 2ф между ними.

Поделим боковую грань на два равнобедренных треугольника со сторонами a, a/2, h и углом ф между ними.

Теперь можем найти площадь каждого из треугольников:
S1 = (1/2) a (a / 2) sin(ф)
S2 = (1/2) a (a / 2) sin(ф)

Таким образом, площадь одного равнобедренного треугольника равна S = S1 + S2 = a^2 * sin(ф) / 4

Теперь, чтобы найти объем пирамиды, нужно умножить площадь основания треугольника на его высоту и разделить на 3:
V = (1/3) S h = (1/3) a^2 sin(ф) / 4 * h.

Таким образом, объем пирамиды равен V = a^2 h sin(ф) / 12.