Докажите, что в треугольнике медиана, проведенная к одной из его сторон, меньше полусуммы двух других сторон.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть дан треугольник ABC, медиана проведена из вершины A к стороне BC. Обозначим точку пересечения медианы с стороной BC как M.

Так как AM является медианой, то BM = MC.

По неравенству треугольника в треугольнике AMB:
AB + BM > AM
AB + MC > AM

А в треугольнике AMC:
AC + MC > AM
AC + BM > AM

Сложим эти два неравенства:
AB + BM + AC + MC > 2AM
AB + AC > 2AM

Делим обе части неравенства на 2:
(AB + AC) / 2 > AM

Таким образом, длина медианы AM, проведенной к одной из сторон треугольника, меньше полусуммы двух других сторон (AB и AC).