Основание пирамиды - равнобедренный треугольник с боковой стороной b и углом при основании бета. Все двугранные углы при основании пирамиды равны альфа. Найдите обьем пирамиды.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим высоту пирамиды через h.
Так как пирамида имеет равнобедренный треугольник в основании, то угол в вершине пирамиды равен углу при основании, то есть beta.
Также из свойств равнобедренных треугольников, мы знаем, что биссектриса угла при основании делит угол в вершине пирамиды на два равных угла. То есть угол при вершине равен beta / 2.
Тогда, используя тригонометрические связи, можем записать:
h / b = tg(beta / 2)
h = b * tg(beta / 2)

Теперь найдем площадь основания пирамиды. Разделим равнобедренный треугольник на два равнобедренных треугольника с углами alpha, beta и 90 градусов. По теореме синусов, получаем:
b = 2 R sin(beta)
где R - радиус описанной окружности в равнобедренном треугольнике.
R = b / (2 * sin(beta))

Теперь можем найти площадь основания:
S = 1/2 b h = 1/2 b b tg(beta / 2) = 1/2 b^2 tg(beta / 2)
S = 1/2 (b^2) (sin(beta) / (2 sin(beta))) tg(beta / 2)
S = (b^2 tg(beta / 2)) / 4

Таким образом, объем пирамиды равен:
V = 1/3 S h = (1/3) ((b^2 tg(beta / 2)) / 4) (b tg(beta / 2)) = (b^3 * tg^2(beta / 2)) / 12