В окружности с центром в точке О построены хорды АВ и ВС так, что угол между ними равен 90°, а угол между хордой АВ и диаметром АС равен 45°. Чему равна хор­да АВ, если длина хорды ВС составляет 6 см?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим радиус окружности как R. Так как угол между хордой АВ и диаметром АС равен 45°, то угол AOC также равен 45°. Так как треугольник AOC прямоугольный, его гипотенуза равна 2R (диаметр), следовательно AC = 2R.

Также заметим, что треугольник ВСО также является прямоугольным, поэтому VO=SC, а VC=SO=2R-6. Так как треугольник ВСО прямоугольный и VO=SC, то VC^2=VOSC=(2R-6)6=36.

Теперь рассмотрим треугольник АВС. Так как угол между хордами АВ и ВС равен 90°, то он является прямоугольным. Пусть хорда АВ равна х. Тогда VА=0.5x, SO=VC=2R-6 и СА=2R. Опять же, используя теорему Пифагора для треугольника ВОА, имеем:
(0.5x)^2 + (2R-6)^2 = (2R)^2.

Раскрыв скобки и заменив VC на 2R-6:
0.25x^2 + 4R^2 - 24R + 36 = 4R^2.

Тогда 0.25x^2 = 24R - 36 = 24(R-1.5).

Таким образом, длина хорды АВ равна x = √(24(R-1.5)).
Учитывая, что VC^2=36, имеем:
(2R-6)^2 = 36
4R^2 - 24R + 36 = 36
4R^2 - 24R = 0
4R(R - 6) = 0
R = 6.

Теперь можем найти длину хорды АВ:
x = √24(6-1.5) = √24*4.5 = √108 = 6√3.

Итак, длина хорды АВ равна 6√3 см.