В треугольнике ABC точка M лежит на большей стороне BC, равной 1. Какое наименьшее расстояние может быть между центрами окружностей, описанных около треугольников BAM и ACM?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка M делит отрезок BC в отношении x:1-x, где 0 < x < 1.

Тогда длины отрезков BM и MC равны x и 1-x соответственно.

Рассмотрим треугольники BAM и ACM. Пусть O1 и O2 - центры окружностей, описанных около этих треугольников.

Так как угол B = угол C, то треугольники BAM и ACM подобны, следовательно, O1O2 параллельно BC и равна α = BM*CM/2 (где BM и CM – длины отрезков BM и CM соответственно).

Так как BM и CM равны x и 1-x, то α = x(1-x)/2 = 1/4 - (x-1/2)^2 >= 1/4.

Если взять x = 1/2, то получим минимальное расстояние между центрами окружностей - 1/4.