Из точки М, лежащей вне окружности с центром О и радиусом R, проведены касательные МА и МВ (А и В - точки касания). Прямые ОА и МВ пересекаются в точке С. Найдите ОС, если известно, что отрезок ОМ делится окружностью пополам.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка О имеет координаты (0, 0), а точка М - (x, y). Тогда расстояние от точки О до точки С равно длине вектора OC. Из условия известно, что отрезок ОМ делится окружностью пополам, то есть радиус вектора ОМ равен R.

Так как ОА и МВ - касательные, то угол МОА равен углу MOB и равен углу ACB (угол между хордой и касательной равен углу, опирающемуся на эту хорду). Таким образом, треугольники МОА и ОСА равны по углам, следовательно, если угол MOA равен α, то угол OAS также равен α.

Так как OM делит окружность на две части пополам, то МОА - прямой угол, а значит треугольник МОА является равнобедренным. Так как угол MOA равен α, то углы OMA и OAM равны α/2 и следовательно, треугольник ОМА является равнобедренным. Если радиус вектора ОМ равен R, то радиус вектора ОА также равен R, а значит длина отрезка ОА равна R.

Так как угол OAS равен α, то угол AOC является прямым, равный 2α. Так как треугольник ОМА равнобедренный, то углы OAM и OMA равны α/2, а значит треугольник OMA является равнобедренным. Таким образом, угол OAC равен α/2, а угол ОCA равен α/2.

Таким образом, угол ACO равен π/2 - α. Так как угол ACO равен 2α, то π/2 - α = 2α, откуда α = π/6.

Итак, угол OAC равен π/6, а угол ОCA равен π/6. Так как треугольник ОАС является прямоугольным, то используя тригонометрические функции для прямоугольного треугольника, получаем, что

cos(π/6) = ОС / R,
√3 / 2 = ОС / R.

Отсюда, ОС = R * √3 / 2.