В треугольнику ABC через вершины A и C и центр описанной окружности точку O можно провести по крайней мере две различные плоскости. Найдите площадь треугольника, если OB = 5см; BC=8см. Решение записать и аргументировать

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим через M точку пересечения прямой BO и отрезка AC. Так как точка O лежит на описанной окружности треугольника ABC, то угол BAC равен углу BOC и, следовательно, треугольники BAC и BOC подобны. Из подобия треугольников получаем, что
[\frac{AC}{BC} = \frac{OC}{OB} \Rightarrow AC = \frac{OC}{OB} \cdot BC]
Так как точка M является серединой стороны AC, то [AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{\frac{OC}{5}\cdot 8}{2} = \frac{4OC}{5}]
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике OMB имеем
[OB^2 = OM^2 + BM^2 \Rightarrow 5^2 = (\frac{4OC}{5})^2 + BM^2]
[BM^2 = 25 - \frac{16OC^2}{25}]
Так как OM равно MC, то BM равно половине длины BC, т.е. BM = 4. Теперь найдем площадь треугольника ABC через площадь прямоугольного треугольника OMB, площадь треугольника AMC и площадь прямоугольника AMCB:
[S{\triangle ABC} = S{\triangle OMB} + S{\triangle AMC} + S{AMCB}]
[S{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot OB \cdot BM + \frac{1}{2} \cdot AM \cdot OC + AM \cdot BM]
С учетом найденных значений AM и BM получаем:
[S{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 4 + \frac{1}{2} \cdot \frac{4OC}{5} \cdot OC + \frac{4OC}{5} \cdot 4]
[S{\triangle ABC} = 10 + \frac{4}{5}OC^2 + \frac{16OC}{5}]
Так как треугольники BAC и BOC подобны, то радиус описанной окружности равен [R = \frac{BC \cdot OC}{2 \cdot S{\triangle ABC}} = \frac{8 \cdot OC}{2 \cdot S{\triangle ABC}}]
Подставляя найденные значения, получаем:
[R = \frac{8 \cdot OC}{2 \cdot (10 + \frac{4}{5}OC^2 + \frac{16OC}{5})}]
[\Rightarrow R = \frac{8}{10 + \frac{4}{5}OC^2 + \frac{16OC}{5}}]
Так как радиус описанной окружности равен OC, то
[OC = \frac{8}{10 + \frac{4}{5}OC^2 + \frac{16OC}{5}}]
[OC = \frac{8}{10 + \frac{4OC^2}{5} + \frac{16OC}{5}}]
[5OC = 8 - \frac{4OC^2}{5} - 16OC]
[20OC = 40 - 4OC^2 - 80OC]
[0 = 4OC^2 + 60OC - 40]
[4OC^2 + 60OC - 40 = 0]
[OC^2 + 15OC - 10 = 0]
[OC = \frac{-15 \pm \sqrt{15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1}]
[OC = \frac{-15 \pm \sqrt{265}}{2}]
Так как OC > 0, то получаем, что
[OC = \frac{-15 + \sqrt{265}}{2}]
Значение OC равно [\frac{-15 + \sqrt{265}}{2}]
Теперь найдем площадь треугольника ABC:
[S{\triangle ABC} = 10 + \frac{4}{5}(\frac{-15 + \sqrt{265}}{2})^2 + \frac{16(\frac{-15 + \sqrt{265}}{2})}{5}]
Получаем значение площади треугольника ABC.