В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности делит высоту в отношении 17 : 15, а боковая сторона равна 34 см. Найдите основание треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим высоту равнобедренного треугольника за h, а основание за a. Пусть точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника обозначена как T.

Из условия задачи, известно что отношение длин высоты h к отрезку TH равно 17:15. Так как точка T делят высоту h на отрезки 15 и 17, тогда TH = 15x, а HT = 17x.

Также известно, что TH = p - a, где p - полупериметр треугольника. Полупериметр треугольника равен p = (a + 34 + 34)/2 = (a + 68)/2.

Из этих двух уравнений:

15x = (a + 68)/2 - a

30x = a + 68 - 2a
30x = 68 - a

Также известно, что TH = 17x. Тогда мы можем найти площадь треугольника двумя способами: через основание и высоту и через радиус вписанной окружности.

Во-первых, площадь треугольника равна S = 1/2 a h, где h = 30x. Таким образом:

S = 1/2 a 30x = 15ax

Во-вторых, площадь треугольника можно выразить через радиус вписанной окружности r и полупериметр треугольника p:

S = rp

Так как радиус вписанной окружности делит все стороны треугольника на равные отрезки, то p = 2r + 2r + a = 2r(1 + 1) + a = 2r(2) + a = 4r + a. Следовательно,

S = r * (4r + a)

Так как площадь треугольника одна и та же:

15ax = r * (4r + a)

Подставим значение 30x из уравнения 30x = 68 - a в это уравнение:

15a(68 - a)/30 = r * (4r + a)

Решив это уравнение, найдем значения a и r.