Задача по геометрии В прямоугольный треугольник вписана полуокружность так, что гипотенуза содержит
диаметр соответствующей окружности, а ее центр делит гипотенузу на отрезки длиной в 3 см и 4 см. Найдите длины радиуса полуокружности и сторон треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть радиус полуокружности равен r, а стороны треугольника равны a, b и c, где a и b - катеты, а c - гипотенуза.

Так как центр окружности делят гипотенузу на отрезки длиной 3 см и 4 см, то c = 3 + 4 = 7 см. По условию задачи гипотенуза содержит диаметр соответствующей окружности, значит r = c/2 = 3.5 см.

Так как полуокружность вписана в прямоугольный треугольник, то она касается катетов в точках касания. Обозначим точки касания как A и B. Проведем высоту из вершины прямого угла к гипотенузе и обозначим точку пересечения высоты с гипотенузой как D.

Теперь имеем два подобных прямоугольных треугольника: ADB и ABC. Они подобны по признаку общего угла и сторон, так как треугольники ABC и ADC являются подобными (по признаку общего угла и стороне), и треугольник ADB является прямоугольным (по условию задачи).

Из подобия треугольников ABC и ADC имеем:

AD / AC = DB / BC,
AD / (a + 3.5) = 3.5 / c,
AD / (a + 3.5) = 3.5 / 7,
AD / (a + 3.5) = 0.5,
AD = 0.5 * (a + 3.5).

Из подобия треугольников ADB и ABC имеем:

DB / AB = 3.5 / c,
(a - DB) / a = 3.5 / 7,
(a - DB) / a = 0.5,
a - DB = 0.5a,
DB = 0.5a.

Таким образом, из полученных уравнений имеем систему:

AD = 0.5 * (a + 3.5),
DB = 0.5a,
AD + DB = a.

Подставим значения:

0.5 * (a + 3.5) + 0.5a = a,
0.5a + 1.75 + 0.5a = a,
1a + 1.75 = a,
1.75 = 0,
противоречие.

Следовательно, задача не имеет решения.