Найти длину рёбра тетраэдра правильного??? Если известно, что сфера описанная вокруг тетраэдра имеет радиус R.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть a - длина ребра тетраэдра.

Рассмотрим пирамиду, образованную тетраэдром и вершиной сферы. Так как радиус сферы R, а высота пирамиды равна радиусу сферы, то прямоугольный треугольник, образуемый высотой и половиной диагонали основания пирамиды, будет прямоугольным.

Пусть d - длина диагонали основания пирамиды. Тогда, по теореме Пифагора:

d^2 = a^2 + 4R^2.

Сфера описанная вокруг тетраэдра касается его всех рёбер. Поэтому диагональ основания равна длине ребра тетраэдра. Подставляем d = a:

a^2 = a^2 + 4R^2.

Отсюда следует, что 4R^2 = 0, то есть R = 0. Это невозможно, так как радиус сферы не может равняться нулю.

Таким образом, при правильном тетраэдре, описанном вокруг сферы с радиусом R, длина ребра равна 2R.