Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой ρ^2 = a^2 sin4φ ( в полярной системе координат).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Данное уравнение в полярной системе координат задает фигуру, которая представляет собой четыре лепестка розы с центром в начале координат.

Для вычисления площади этой фигуры можно воспользоваться следующим интегралом:

S = 1/2 ∫[α,β] (ρ(φ))^2 dφ

где α и β - углы начала и конца фигуры.

В данном случае, углы α и β равны 0 и π/2, так как фигура ограничена полным одним оборотом.

Подставим уравнение фигуры в формулу площади:

S = 1/2 ∫[0,π/2] (a^2 sin4φ) dφ

S = 1/2a^2 ∫[0,π/2] sin4φ dφ

S = -1/8a^2 cos4φ |[0,π/2]

S = -1/8a^2 (cos2π - cos0)

S = -1/8a^2 (-1 - 1)

S = 1/4a^2

Итак, площадь фигуры, ограниченной кривой ρ^2 = a^2 sin4φ, равна 1/4a^2.