Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит... Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 7. Найдите его большую сторону.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, обозначается как O. Так как O принадлежит противоположной стороне, то он делит эту сторону на две части в отношении, равном отношению сторон параллелограмма (7: x, где x - большая сторона)

Пусть радиусы окружностей с центром в точке O, касающиеся прямых $BC$ и $AD$,
равны p и q.
Так как O лежит на биссектрисе, то $OB = OD$.
Также $OB + p = x$ и $OD - q = x$.
Отсюда $OB + OD = x + p - q = 2x$.
$OB + OD = BD = 2BM$, где $BM$ - высота, опущенная из точки $O$, перпендикулярно $AB$ и $AD$.
Отсюда высота равна $h = \frac{BD}{2} = \frac{x+p-q}{2}$.
$h$ равно полудиаметру окружности,
и выражается через радиусы окружностей и тангенс угла между $p$ и $q$:
$h = \frac{R_1 + R_2}{2} = \frac{pq}{h}$.
$h^2 = pq$ и $h = \sqrt{pq}$
$\frac{x+p-q}{2} = \sqrt{pq}$
$x+p-q = 2\sqrt{pq}$
$x-7 = 2\sqrt{7x}$
$49 = (x-7)^2 = x^2 - 14x + 49 => x = 21$
Большая сторона параллелограмма равна 21.