Сколько решений имеет уравнение Sin2x-coax=0 на отрезке [п; 5п/2]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения уравнения $\sin(2x) - \cos(x) = 0$ на отрезке $[\pi ; \frac{5\pi}{2}]$, нужно использовать метод последовательных подстановок. Начнем с преобразования уравнения:

$\sin(2x) - \cos(x) = 0$

$\sin(2x) = \cos(x)$

$\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)} = \frac{\cos(x)}{\cos(2x)}$

$\tan(2x) = \tan(\frac{\pi}{2} - x)$

Теперь нам нужно найти все значения $x$ на отрезке $[\pi ; \frac{5\pi}{2}]$ для которых выполняется $\tan(2x) = \tan(\frac{\pi}{2} - x)$.

Углы, для которых тангенс равен, должны отличаться на $k\pi$. Поэтому:\
$2x = \pi + \frac{\pi}{2} - x + k\pi$\
или\
$2x = \frac{3\pi}{2} - x + k\pi$

Таким образом, $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}k$.

На отрезке $[\pi ; \frac{5\pi}{2}]$ угол $x$ должен удовлетворять условию $x \geq \pi$ и $x \leq \frac{5\pi}{2}$.

Подставляя значения $k = 1, 2, 3, 4$, получаем четыре решения уравнения:

$x_1 = \frac{3\pi}{4}$

$x_2 = \frac{5\pi}{4}$

$x_3 = \frac{7\pi}{4}$

$x_4 = \frac{9\pi}{4}$

Таким образом, уравнение $\sin(2x) - \cos(x) = 0$ имеет четыре решения на отрезке $[\pi ; \frac{5\pi}{2}]$.