Удовлетворяет функция w(z) = e^z^2 условия Коши - Римана?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для проверки, удовлетворяет ли функция w(z) = e^z^2 условиям Коши-Римана, нужно вычислить ее частные производные по переменным x и y и проверить их равенство в точке.

Пусть z = x + iy, тогда функция w(z) = e^(x^2 - y^2 + 2ixy). Следовательно, u(x, y) = e^(x^2 - y^2) cos(2xy) и v(x, y) = e^(x^2 - y^2) sin(2xy).

Вычислим частные производные функций u(x, y) и v(x, y) по переменным x и y:

∂u/∂x = 2xe^(x^2 - y^2) cos(2xy) - 2ye^(x^2 - y^2) sin(2xy)
∂u/∂y = -2ye^(x^2 - y^2) cos(2xy) - 2xe^(x^2 - y^2) sin(2xy)
∂v/∂x = 2ye^(x^2 - y^2) sin(2xy) + 2xe^(x^2 - y^2) cos(2xy)
∂v/∂y = 2xe^(x^2 - y^2) cos(2xy) - 2ye^(x^2 - y^2) sin(2xy)

Теперь подставим эти частные производные в условия Коши-Римана:

∂u/∂x = ∂v/∂y и ∂u/∂y = -∂v/∂x

После подстановки и упрощения получим:

2xe^(x^2 - y^2) cos(2xy) - 2ye^(x^2 - y^2) sin(2xy) = 2xe^(x^2 - y^2) cos(2xy) - 2ye^(x^2 - y^2) sin(2xy)

-2ye^(x^2 - y^2) cos(2xy) - 2xe^(x^2 - y^2) sin(2xy) = -2ye^(x^2 - y^2) cos(2xy) - 2xe^(x^2 - y^2) sin(2xy)

Таким образом, видно, что условия Коши-Римана выполняются для функции w(z) = e^z^2.