Угол между диагоналями основания прямоугольного параллелепипеда равен 30°. Диагональ параллелепипеда равна 12 см и образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите объем параллелепипеда. С рисунком!

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим основание параллелепипеда как прямоугольник ABCD, где AB и CD - стороны основания, а AC и BD - диагонали основания. Пусть точка E – середина стороны BC.

Так как угол между диагоналями основания параллелепипеда равен 30°, то треугольники ABC и ACD являются равнобедренными. Значит, AD = BC = b, где b – ширина основания параллелепипеда.

Также, из условия задачи получаем, что диагональ параллелепипеда AC равна 12 см и образует с плоскостью основания угол 60°. Значит, по теореме косинусов для треугольника ACD:

AC² = AD² + CD² - 2ADCD*cos(60°)

12² = b² + b² - 2bbcos(60°)

144 = 2b² - 2b²*0.5

144 = b²

b = 12 см

Теперь обратим внимание на треугольник ACE. Так как AE = EC = 6 см (половина длины диагонали основания), а угол AEC равен 90° (так как AE – медиана), то угол CEA равен 30° (так как треугольник ACE равнобедренный). Теперь можем найти длину высоты параллелепипеда h:

tan(30°) = h / 6

h = 6 * tan(30°) ≈ 3.46 см

Теперь можем найти объем параллелепипеда:

V = S h = b b h = 12 12 * 3.46 = 497.28 см³

Итак, объем параллелепипеда равен 497.28 см³.