Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x^2,y=0;
x=-1;x=3
y=x^2,y=2-x
y=2-x,x=0,y=0

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для первой фигуры, ограниченной линиями y=x^2, y=0; x=-1; x=3, нужно найти площадь между графиком функции y=x^2 и осью x на заданном участке.

Интегрируем функцию y=x^2 на интервале от -1 до 3:
∫[−1, 3] x^2 dx = [x^3/3] [−1, 3]
Теперь подставим границы в интеграл:
(3^3/3) - ((-1)^3/3) = 9 - (-1/3) = 28/3
Таким образом, площадь фигуры равна 28/3.

Для второй фигуры, ограниченной линиями y=x^2, y=2-x, нужно найти площадь между графиками функций y=x^2 и y=2-x на их общем участке.

Найдем точку пересечения графиков:
x^2 = 2-x
x^2 + x - 2 = 0
(x+2)(x-1) = 0
x = -2 или x = 1

Интегрируем функцию на области между y=x^2 и y=2-x:
∫[−2, 1] (2-x - x^2) dx = [2x - x^2/2 - x^3/3] [−2, 1]
Подставим границы в интеграл:
(21 - 1/2 - 1/3) - (2(-2) - 4 - (-8/3)) = 7/6
Таким образом, площадь фигуры равна 7/6.

Для третьей фигуры, ограниченной линиями y=2-x, x=0, y=0, нужно найти площадь между графиками функций y=2-x, x=0 и y=0 на их общем участке.

Это треугольник с основанием 2 и высотой 2, так как y=2-x пересекает оси y и x в точках (0,2) и (2,0).
Площадь треугольника:
(1/2)22 = 2

Итак, площадь каждой фигуры равна:

Для первой фигуры: 28/3Для второй фигуры: 7/6Для третьей фигуры: 2