Для решения данного интеграла проведем замену переменных: Пусть [tex]u = \sqrt{\frac{x}{4-x}}[/tex]. Тогда можем выразить x через u: [tex]u^2=\frac{x}{4-x}[/tex] [tex]u^2(4-x)=x[/tex] [tex]4u^2- u^2x=x[/tex] [tex]4u^2=x(1+u^2)[/tex] [tex]x=\frac{4u^2}{1+u^2}[/tex]
Теперь найдем производную: [tex]dx=\frac{d(4u^2)}{1+u^2}+4u^2 \cdot \frac{d(1+u^2)}{(1+u^2)^2}=\frac{8udu}{(1+u^2)^2}[/tex]
Подставим выражения для x и dx в интеграл: [tex]\int\limits^{1}{0} u \cdot \frac{8u}{(1+u^2)^2} \, du=8\int\limits^{1}{0} \frac{u^2}{(1+u^2)^2} \, du[/tex]
Далее проведем расчет интеграла: [tex]8\int\limits^{1}{0} \frac{u^2}{(1+u^2)^2} \, du=8\int\limits^{1}{0} \frac{1+u^2-1}{(1+u^2)^2} \, du[/tex] [tex]=8\int\limits^{1}{0} \frac{1}{1+u^2} \, du - 8\int\limits^{1}{0} \frac{1}{(1+u^2)^2} \, du[/tex]
Первый интеграл вычисляется как arctan(u) по u от 0 до 1: [tex]=\left. 8 \arctan(u) \right|^{1}{0} - 8\int\limits^{1}{0} \frac{1}{(1+u^2)^2} \, du[/tex]
Мы получили второй интеграл: [tex]- 8\int\limits^{1}_{0} \frac{1}{(1+u^2)^2} \, du[/tex]
Для его вычисления проведем следующую замену: [tex]v = 1+u^2[/tex] [tex]dv = 2u \, du[/tex] [tex]u \, du = \frac{dv}{2}[/tex]
Для решения данного интеграла проведем замену переменных:
Пусть [tex]u = \sqrt{\frac{x}{4-x}}[/tex]. Тогда можем выразить x через u:
[tex]u^2=\frac{x}{4-x}[/tex]
[tex]u^2(4-x)=x[/tex]
[tex]4u^2- u^2x=x[/tex]
[tex]4u^2=x(1+u^2)[/tex]
[tex]x=\frac{4u^2}{1+u^2}[/tex]
Теперь найдем производную:
[tex]dx=\frac{d(4u^2)}{1+u^2}+4u^2 \cdot \frac{d(1+u^2)}{(1+u^2)^2}=\frac{8udu}{(1+u^2)^2}[/tex]
Подставим выражения для x и dx в интеграл:
[tex]\int\limits^{1}{0} u \cdot \frac{8u}{(1+u^2)^2} \, du=8\int\limits^{1}{0} \frac{u^2}{(1+u^2)^2} \, du[/tex]
Далее проведем расчет интеграла:
[tex]8\int\limits^{1}{0} \frac{u^2}{(1+u^2)^2} \, du=8\int\limits^{1}{0} \frac{1+u^2-1}{(1+u^2)^2} \, du[/tex]
[tex]=8\int\limits^{1}{0} \frac{1}{1+u^2} \, du - 8\int\limits^{1}{0} \frac{1}{(1+u^2)^2} \, du[/tex]
Первый интеграл вычисляется как arctan(u) по u от 0 до 1:
[tex]=\left. 8 \arctan(u) \right|^{1}{0} - 8\int\limits^{1}{0} \frac{1}{(1+u^2)^2} \, du[/tex]
Мы получили второй интеграл:
[tex]- 8\int\limits^{1}_{0} \frac{1}{(1+u^2)^2} \, du[/tex]
Для его вычисления проведем следующую замену:
[tex]v = 1+u^2[/tex]
[tex]dv = 2u \, du[/tex]
[tex]u \, du = \frac{dv}{2}[/tex]
Подставим в интеграл:
[tex]- 8\int\limits^{2}{1} \frac{1}{v^2} \cdot \frac{dv}{2}= - 4\int\limits^{2}{1} \frac{dv}{v^2}[/tex]
[tex]= 4\left. \frac{1}{v} \right|^{2}{1} = 4\left( \frac{1}{2} - 1 \right) = -2[/tex]
Подставим это значение в исходное выражение:
[tex]\left. 8 \arctan(u) \right|^{1}{0} - 2 = 8 \arctan(1) - 8 \arctan(0) - 2 = 8 \cdot \frac{\pi}{4} - 2 = 2\pi - 2[/tex]
Ответ: [tex]2\pi - 2[/tex].