Дано уравнение: 4sinx = 5 - 4cos^2 x
Мы знаем, что sin^2 x + cos^2 x = 1
Подставим это в уравнение: 4sinx = 5 - 4(1-sin^2 x)
Раскроем скобки: 4sinx = 5 - 4 + 4sin^2 x
Упростим: 4sinx = 1 + 4sin^2 x
Заменим sinx на s: 4s = 1 + 4s^2
Перенесем все члены в одну сторону: 4s^2 + 4s - 1 = 0
Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта:
D = b^2 - 4acD = 4^2 - 44(-1) = 16 + 16 = 32
Теперь найдем корни уравнения:
s1,2 = (-b ± √D) / 2as1,2 = (-4 ± √32) / 8s1,2 = (-4 ± 4√2) / 8s1 = (-4 + 4√2) / 8 = √2 / 2s2 = (-4 - 4√2) / 8 = -√2 / 2
Теперь найдем sinx:
sinx = s1 = √2 / 2x1 = π/4 + 2πn, где n - целое число
sinx = s2 = -√2 / 2x2 = 3π/4 + 2πn, где n - целое число
Итак, решения уравнения 4sinx = 5 - 4cos^2 x: x = π/4 + 2πn или x = 3π/4 + 2πn, где n - целое число.
Дано уравнение: 4sinx = 5 - 4cos^2 x
Мы знаем, что sin^2 x + cos^2 x = 1
Подставим это в уравнение: 4sinx = 5 - 4(1-sin^2 x)
Раскроем скобки: 4sinx = 5 - 4 + 4sin^2 x
Упростим: 4sinx = 1 + 4sin^2 x
Заменим sinx на s: 4s = 1 + 4s^2
Перенесем все члены в одну сторону: 4s^2 + 4s - 1 = 0
Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта:
D = b^2 - 4ac
D = 4^2 - 44(-1) = 16 + 16 = 32
Теперь найдем корни уравнения:
s1,2 = (-b ± √D) / 2a
s1,2 = (-4 ± √32) / 8
s1,2 = (-4 ± 4√2) / 8
s1 = (-4 + 4√2) / 8 = √2 / 2
s2 = (-4 - 4√2) / 8 = -√2 / 2
Теперь найдем sinx:
sinx = s1 = √2 / 2
x1 = π/4 + 2πn, где n - целое число
sinx = s2 = -√2 / 2
x2 = 3π/4 + 2πn, где n - целое число
Итак, решения уравнения 4sinx = 5 - 4cos^2 x: x = π/4 + 2πn или x = 3π/4 + 2πn, где n - целое число.