Делится ли число [tex] \frac{111...111}{999edenic} [/tex]на 37? (имеется в виду,что посреди "..." находится 999 едениц)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Да, это число делится на 37.

Мы можем заметить, что число, состоящее из 999 единиц, равно 10^999 - 1.

Теперь можем представить данное число в виде суммы геометрической прогрессии:
[
\frac{10^{999} - 1}{999edenic} = \frac{10^{999} - 1}{999} = \frac{10^{999}}{999} - \frac{1}{999}
]

Заметим, что 10^3 = 1000 = 27 37 + 1, следовательно 10^999 = (10^3)^333 = (27 37 + 1)^333 = 27^333 37^333 + C_2(333, 1) 27^332 37^332 + ... + C_332(333, 332) 27^1 * 37^1 + 1.

Это значит, что числитель равен сумме делимого этого числа на 37 и целого числа (последний остаток деления).

Следовательно, исходное число делится на 37.