Стороны основания треугольной пирамиды равны 4, 7 и 9. Боковые ребра наклонены к плоскости основания под углом 30 . Найдите объем пирамиды.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи воспользуемся формулой для объема пирамиды:

V = (1/3) S h,

где S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.

Для начала найдем площадь треугольника, образованного основанием пирамиды:

S = (1/2) a b * sin(γ),

где a и b - стороны основания, γ - угол между этими сторонами.

S = (1/2) 4 7 sin(120°) = (1/2) 4 7 √3 / 2 = 14√3.

Теперь найдем высоту пирамиды. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного боковым ребром пирамиды, высотой и радиусом основания:

h = √(r^2 - (a/2)^2),

где r - радиус описанной окружности вокруг основания пирамиды.

r = a sin(60°) / sin(30°) = 4 √3 / 2 = 2√3.

h = √((2√3)^2 - (4/2)^2) = √(12 - 4) = √8 = 2√2.

Теперь можем найти объем пирамиды:

V = (1/3) 14√3 2√2 = 28.

Ответ: объем пирамиды равен 28.