Вычислите сумму:[tex]1 + \frac{2}{2} + \frac{3}{ {2}^{2} } + \frac{4}{ {2}^{3} } + ... + \frac{n}{ {2}^{n - 1} } [/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления данной суммы воспользуемся формулой для суммы геометрической прогрессии:

[ S = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}, ]

где ( a_1 = 1 ) - первый член прогрессии, ( q = \frac{1}{2} ) - знаменатель прогрессии, ( n ) - количество членов прогрессии.

Подставляя значения в формулу, получаем:

[ S = 1 \cdot \frac{1 - (\frac{1}{2})^n}{1 - \frac{1}{2}} = 2 \cdot (1 - (\frac{1}{2})^n). ]

Таким образом, сумма данной последовательности будет равна ( 2 \cdot (1 - (\frac{1}{2})^n) ).