Вычислить сумму:[tex]1 + \frac{2}{2} + \frac{3}{{2}^{2} } + \frac{4}{{2}^{3} } + ... + \frac{n}{ {2}^{n - 1} } [/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи можно использовать метод математической индукции.

База индукции: при n=1, сумма равна 1, что соответствует начальному элементу.

Предположение индукции: пусть утверждение верно для некоторого числа n, т.е.

1 + \frac{2}{2} + \frac{3}{{2}^{2} } + \frac{4}{{2}^{3} } + ... + \frac{n}{ {2}^{n - 1} }

Теперь добавим следующее слагаемое при n+1:

1 + \frac{2}{2} + \frac{3}{{2}^{2} } + \frac{4}{{2}^{3} } + ... + \frac{n}{ {2}^{n - 1} } + \frac{n+1}{ {2}^{n} }

Рассмотрим отдельно последнее слагаемое:
\frac{n+1}{ {2}^{n} } = \frac{n}{ {2}^{n} } + \frac{1}{ {2}^{n} } = \frac{n}{ {2}^{n} } + \frac{1}{ {2}^{n-1} }

Теперь добавим это выражение к предыдущей сумме:

1 + \frac{2}{2} + \frac{3}{{2}^{2} } + \frac{4}{{2}^{3} } + ... + \frac{n}{ {2}^{n - 1} } + \frac{n+1}{ {2}^{n} } =
= 1 + \frac{2}{2} + \frac{3}{{2}^{2} } + \frac{4}{{2}^{3} } + ... + \frac{n}{ {2}^{n - 1} } + \frac{n}{ {2}^{n} } + \frac{1}{ {2}^{n-1} } =
= 1 + \frac{2}{2} + \frac{3}{{2}^{2} } + \frac{4}{{2}^{3} } + ... + \frac{n}{ {2}^{n} }

По предположению индукции сумма выражения для n+1 равна сумме выражения для n. Таким образом, утверждение доказано по индукции.

Таким образом, сумма данного ряда равна 1.