Рассмотрим сумму трех последовательных членов ряда: x = n - 1, n и x = n + 1:
f(n - 1) = 1/[n * (n + 1)] = 1/n - 1/(n + 1)
f(n) = 1/[(n + 1) * (n + 2)] = 1/(n + 1) - 1/(n + 2)
f(n + 1) = 1/[(n + 2) * (n + 3)] = 1/(n + 2) - 1/(n + 3)
f(n - 1) + f(n) + f(n + 1) = 1/n - 1/(n + 1)+ 1/(n + 1) - 1/(n + 2) + 1/(n + 2) - 1/(n + 3) = 1/n - 1/(n + 3)
аналогично, при суммировании всех членов ряда f(x) = 1/(x + 1) + 1/(x + 2) останутся только первое слагаемое первого члена f(1) и второе слагаемое члена f(2017):
f(1) + f(2) + ... + f(2017) = 1/2 + 1/2019 = 2021/4038
Рассмотрим сумму трех последовательных членов ряда: x = n - 1, n и x = n + 1:
f(n - 1) = 1/[n * (n + 1)] = 1/n - 1/(n + 1)
f(n) = 1/[(n + 1) * (n + 2)] = 1/(n + 1) - 1/(n + 2)
f(n + 1) = 1/[(n + 2) * (n + 3)] = 1/(n + 2) - 1/(n + 3)
f(n - 1) + f(n) + f(n + 1) = 1/n - 1/(n + 1)+ 1/(n + 1) - 1/(n + 2) + 1/(n + 2) - 1/(n + 3) = 1/n - 1/(n + 3)
аналогично, при суммировании всех членов ряда f(x) = 1/(x + 1) + 1/(x + 2) останутся только первое слагаемое первого члена f(1) и второе слагаемое члена f(2017):
f(1) + f(2) + ... + f(2017) = 1/2 + 1/2019 = 2021/4038