При каких значениях параметра р уравнение x^3 - 10 x^2 +px = 0, имеет два корня? Нужно их найти. Нужно очень подробное решение!

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы уравнение $$x^3 - 10x^2 + px = 0$$ имело два корня, необходимо и достаточно, чтобы у него, как у многочлена третьей степени, нашлась кратная кратность корня.

Для начала найдем корни данного уравнения.

Представим данное уравнение в виде $x(x^2 - 10x + p) = 0$.

Решим уравнение $x = 0$, очевидно, что одним из корней будет $x = 0$.

Далее решим квадратное уравнение $x^2 - 10x + p = 0$ при заданных коэффициентах $a = 1$, $b = -10$, $c = p$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 41p = 100 - 4p$.

У кубического уравнения два действительных корня, если дискриминант квадратного уравнение положителен, равен нулю (этот корень будет дважды), и вторая степень соответствующего уравнения отрицательна.

Таким образом, для нахождения действительных корней, необходимо найти параметр p, при котором выполняются следующие условия:

Таким образом, при $p = 25$ уравнение $x^3 - 10x^2 + 25x = 0$ имеет два действительных корня: $x_1 = 0$ (кратный) и $x_2 = 5$.

Подводя итог, при $p = 25$ уравнение $x^3 - 10x^2 + 25x = 0$ имеет два корня: $x = 0$ (кратный) и $x = 5$.