Требуется изготовить коническую воронку для слива с образующей,равной 20 см.Какова должна быть высота воронки,чтобы ее объем был наибольшим?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения высоты воронки, при которой ее объем будет наибольшим, нужно воспользоваться формулой для объема конуса:

V = (1/3) π r^2 * h

где r - радиус основания конуса, h - высота конуса.

Для данной задачи известно, что образующая (l) равна 20 см. Образующая связана с радиусом r и высотой h следующим образом:

l^2 = r^2 + h^2

20^2 = r^2 + h^2

400 = r^2 + h^2

Так как мы ищем максимальный объем конуса, то мы должны выразить h через r и заменить в формулу для объема, чтобы найти максимум:

V = (1/3) π r^2 h = (1/3) π r^2 √(400 - r^2)

Для нахождения максимума объема необходимо найти производную V по r, приравнять ее к нулю и решить уравнение:

dV/dr = 0

(1/3) π (2r) √(400 - r^2) - (1/3) π r^2 (1/2) (400 - r^2)^(-1/2) (-2r) = 0

(2/3) π r √(400 - r^2) + (1/3) π * r^3 / √(400 - r^2) = 0

2r^2 = r^4

r^2 = 2

r = √2

Таким образом, радиус основания конуса должен быть √2 см, а высота найдется из уравнения:

400 = 2 + h^2

h = √398

Итак, чтобы объем конической воронки был наибольшим, ее высота должна быть примерно 19,95 см.