Найти площадь диагонального сечения правильной четырехугольной пирамиды если ее объем равен 18, а боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 45 градусов.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть а - длина стороны основания пирамиды, h - высота пирамиды. Тогда объем пирамиды равен:
V = (1/3) S_основания h,
где S_основания - площадь основания пирамиды.

Так как пирамида правильная, ее основание - квадрат, и его площадь равна S_основания = a^2.

Также из условия известно, что боковое ребро составляет с плоскостью основания угол 45 градусов. Тогда можно построить прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза является боковым ребром пирамиды, один катет - половиной стороны основания (a/2), а другой катет - высотой пирамиды (h).

Таким образом, мы можем записать:
cos(45) = (a/2) / l,
где l - боковое ребро пирамиды.
cos(45) = 1/√2.

Отсюда находим, что l = a/√2.

Подставляем найденное значение длины бокового ребра в формулы для объема пирамиды:
18 = (1/3) a^2 h,
18 = (1/3) (a^2/2) h,
54 = a^2 * h.

Так как площадь диагонального сечения является частью площади основания, площадь диагонального сечения равна:
S_сечения = a^2 / 2.

Подставляем найденное значение объема пирамиды в данную формулу:
54 = 2 S_сечения h,
27 = S_сечения h,
27 = a^2 h / 2,
27 = 54 / 2.

Отсюда находим, что a^2 = 1/2. Таким образом, площадь диагонального сечения правильной четырехугольной пирамиды равна 1/2.