1. Кеша вырезал из бумаги треугольник ABC с наибольшей стороной AB и перегнул его
по прямой так, что вершина С попала на сторону AB и образовался четырехугольник.
Укажите множество точек на стороне АВ, куда могла попасть вершина С.
2. В треугольнике ABC провели медиану AD. В треугольнике ABD медиана, опущенная
из вершины D, оказалась также и высотой. Найдите наименьший угол треугольника
ABC, если известно, что он ровно в два раза меньше другого угла треугольника ABC.
3. У каждого из семи олигархов состояние равно натуральному числу миллиардов
рублей, причём все состояния попарно различны. Известно, что любые четверо из них
вместе имеют состояние больше, чем трое оставшихся вместе взятые. Найдите
наименьшее возможное суммарное состояние всех олигархов.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Все точки на отрезке AB (кроме точек A и B), так как вершина C может находиться на любом расстоянии от точки A до точки B.Пусть угол BAC = x, угол ABC = 2x, угол ACB = 180 - 3x. Так как медиана AD также является высотой треугольника ABD, то треугольник ABD оказывается равнобедренным, следовательно, угол DAB = угол DBA = (180 - 2x)/2 = 90 - x. Тогда x + 2x + 90 - x = 180 => 2x = 90 => x = 45. Следовательно, наименьший угол треугольника ABC равен 45 градусов.Пусть общее суммарное состояние всех олигархов равно S. Тогда сумма состояний любых четырех олигархов больше суммы состояний трех других олигархов. Из этого следует, что сумма состояний четырех самых богатых олигархов больше суммы состояний трех самых бедных олигархов. Так как все состояния попарно различны, то наименьшее возможное суммарное состояние всех олигархов будет равно сумме состояний трех самых бедных олигархов и самого богатого олигарха. Пусть состояния олигархов равны a, b, c, d, e, f, g (где a < b < c < d < e < f < g). Тогда a + b + c + g > d + e + f и a + b + c + d = e + f + g. Подставим a = 1, b = 2, c = 3, d = 4, e = 5, f = 6, g = 7 и найдем, что наименьшее возможное суммарное состояние всех олигархов равно 21 миллиарду рублей.