Вычислить длину дуги кривой при помощи интеграла [tex] \sqrt{ \frac{x}{a} } + \sqrt{ \frac{y}{b} } = 1[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления длины дуги кривой мы можем воспользоваться формулой для длины кривой, заданной параметрически:

[ L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{ ( \frac{dx}{dt} )^2 + ( \frac{dy}{dt} )^2 } dt ]

Для начала необходимо параметризовать уравнение кривой. Заметим, что уравнение кривой задано в общем виде, а не в параметрическом. Для этого можем взять параметризацию:

[ x = a \cos^2{t}, y = b \sin^2{t} ]

так как:

[ \sqrt {\frac{a \cos^2{t}}{a}} + \sqrt {\frac{b \sin^2{t}}{b}} = 1 ]

[ | \cos{t} | + | \sin{t} | = 1 ]

[ \cos{t} = \cos( -t ) , \sin{t} = \sin ( \frac{\pi}{2} -t ) ]

Теперь можем вычислить производные и подставить их в формулу для длины кривой:

[ x' = -2a \cos{t} \sin{t}, y' = 2b \sin{t} \cos{t} ]

[ \sqrt{ ( \frac{dx}{dt} )^2 + ( \frac{dy}{dt} )^2 } = \sqrt{ 4 a^2 \cos^2{t} \sin^2{t} + 4b^2 \sin^2{t} \cos^2{t} } ]

[ L = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{ 4 a^2 \cos^2{t} \sin^2{t} + 4b^2 \sin^2{t} \cos^2{t} } dt ]

[ L = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sqrt{ a^2 \cos^2{t} \sin^2{t} + b^2 \sin^2{t} \cos^2{t} } dt ]

[ L = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2 \sqrt{ab} \sin{t} \cos{t} dt ]

[ L = 2 \sqrt{ab} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin{t} \cos{t} dt ]

Сделаем замену:

[ u = \sin{t}, \quad du = \cos{t} dt ]

[ L = 2 \sqrt{ab} \int_{0}^{1} u du = \sqrt{ab} u^2 \Big|_0^1 = \sqrt{ab} ]

Таким образом, длина дуги кривой равна [tex] \sqrt{ab} [/tex].