Дан треугольник АВС с биссектрисами а, в, с. Точка О - точка пересечения биссектрис. Доказать, что АО/ОС=а+в/с

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данной теоремы воспользуемся теоремой синусов в треугольнике АОС.

Из теоремы синусов для треугольника АОС имеем:
AO/sin∠AOC = OC/sin∠CAO

Так как точка О - точка пересечения биссектрис, то ∠CAO = ∠BAO = ∠ABC/2 = ∠ACV/2.
Также из того, что биссектрисы делят углы пополам, имеем ∠AOC = 180 - ∠ABC.

Подставим эти значения в теорему синусов:
AO/sin(180 - ∠ABC) = OC/sin(∠ABC/2)
AO/sin(∠ABC) = OC/sin(∠ABC/2)

Так как sin(∠ABC) = v, a = OC, c = AC, то
AO/v = a / sin(v/2)
AO/sin(v/2) = a/v
AO = a * sin(v/2)

Аналогично можно показать, что OC = c * sin(v/2)

Тогда АО/ОC = a sin(v/2) / c sin(v/2) = a/c = a/v + v = a + v/c

Таким образом доказана данная теорема.