[tex]sin^{2} (\frac{\pi }{8} + t) = sint + sin^{2} ( \frac{\pi }{8} - t)[/tex]
надеюсь кто-то решит. заранее спасибо!

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данного уравнения воспользуемся тригонометрическими тождествами:

Синус суммы двух углов:
[ \sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b ]

Тождество синуса:
[ \sin(\frac{\pi}{2} - x) = \cos x ]

Преобразуем левую часть уравнения:
[ \sin^2 \left( \frac{\pi}{8} + t \right) = \sin \left( \frac{\pi}{8} + t \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{8} + t \right) ]
[ = \sin \frac{\pi}{8} \cos t + \cos \frac{\pi}{8} \sin t \cdot \sin \frac{\pi}{8} \cos t + \cos \frac{\pi}{8} \sin t ]
[ = \sin \frac{\pi}{8} \cos t + \cos \frac{\pi}{8} \sin t ]

Аналогично преобразуем правую часть уравнения:
[ \sin t + \sin^2 \left( \frac{\pi}{8} - t \right) = \sin t + \sin \left( \frac{\pi}{8} - t \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{8} - t \right) ]
[ = \sin t + \sin \frac{\pi}{8} \cos t - \cos \frac{\pi}{8} \sin t \cdot \sin \frac{\pi}{8} \cos t + \cos \frac{\pi}{8} \sin t ]
[ = \sin t + \sin \frac{\pi}{8} \cos t - \cos \frac{\pi}{8} \sin t ]

Таким образом, уравнение принимает вид:
[ \sin \frac{\pi}{8} \cos t + \cos \frac{\pi}{8} \sin t = \sin t + \sin \frac{\pi}{8} \cos t - \cos \frac{\pi}{8} \sin t ]

Сокращаем обе части уравнения на (\cos t):
[ \sin \frac{\pi}{8} + \cos \frac{\pi}{8} \tan t = \tan t + \sin \frac{\pi}{8} - \cos \frac{\pi}{8} \tan t ]
[ \sin \frac{\pi}{8} + \cos \frac{\pi}{8} \tan t = \sin \frac{\pi}{8} ]

Таким образом, уравнение будет иметь решение (\tan t = 0), откуда (t = k\pi, \ k \in \mathbb{Z}).