Решить уравнения : а) [tex]4^{x+1} + 2^{2x} = 80[/tex] б) [tex]2*3^{x} + 3^{x-1} = 57[/tex]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Представим число 80 в виде степени числа 2: 80 = 2^4 5. То есть 80 = 2^4 2^2. Следовательно, 80 = 2^6.
Теперь уравнение примет вид: 4^(x+1) + 2^(2x) = 2^6.
Раскроем степени: 4^x 4^1 + (2^x)^2 = 2^6.
Так как 4^1 = 4 и (2^x)^2 = 2^(2x), то получаем: 4^x 4 + 2^(2x) = 2^6.
Упростим: 4^(x+1) + 2^(2x) = 64 + 2^(2x) = 80.
2^(2x) = 80 - 64 = 16, следовательно 2^4 = 2^(2x) => 2x = 4 => x = 2.

б) Раскроем уравнение: 23^x + 3^(x-1) = 57.
Представим число 57 в виде степени числа 3: 57 = 3^3 2.
Уравнение можно переписать: 23^x + 3^(x-1) = 3^3 2.
Раскроем степени: 23^x + 3^x 3^(-1) = 3^3 2.
23^x + 3^(x-1) = 27 2.
23^x + 3^(x-1) = 54.
2 3^x + (1/3) 3^x = 54.
Упростим: (2 + 1/3) 3^x = 54
(6/3 + 1/3) 3^x = 54
(7/3) 3^x = 54
3^x = 54 3 / 7 = 162 / 7.
Так как 7 * 3^4 = 162, то x = 4.