Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Для каждого абонента вероятность того, что в течение часа он позвонит на станцию, равна 0.01. Найдите вероятность того, что в течение часа не менее 3 абонентов позвонят на станцию.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи воспользуемся формулой Пуассона, так как у нас есть большое количество абонентов, вероятность звонка от каждого из которых мала.

Пусть $X$ - количество звонков на станцию в течение часа. Тогда $X$ распределено по пуассоновскому закону с параметром $\lambda = 400 \cdot 0.01 = 4$.

Таким образом, мы ищем вероятность $P(X \geq 3) = 1 - P(X < 3)$. Найдем это значение:

$P(X < 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$

$P(X = k) = \frac{e^{-\lambda} \cdot \lambda^k}{k!}$

$P(X = 0) = \frac{e^{-4} \cdot 4^0}{0!} = e^{-4}$

$P(X = 1) = \frac{e^{-4} \cdot 4^1}{1!} = 4e^{-4}$

$P(X = 2) = \frac{e^{-4} \cdot 4^2}{2!} = 8e^{-4}$

$P(X < 3) = e^{-4} + 4e^{-4} + 8e^{-4} = 13e^{-4}$

$P(X \geq 3) = 1 - 13e^{-4} = 1 - 13 \cdot \frac{1}{e^4} \approx 1 - 13 \cdot 0.0183 \approx 1 - 0.238 \approx 0.762$

Итак, вероятность того, что в течение часа не менее 3 абонентов позвонят на станцию равна приблизительно 0.762.