Сумма трёх целых чисел делится на 6. Доказать, что и сумма кубов этих чисел делится на 6

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть у нас есть три целых числа: a, b и c, такие что a + b + c делится на 6.

Тогда можно записать это равенство следующим образом: a + b + c = 6k, где k - целое число.

Теперь возведем обе части этого равенства в куб: (a + b + c)^3 = (6k)^3.

Раскроем левую часть по формуле куба суммы: a^3 + b^3 + c^3 + 3(a^2b + ab^2 + a^2c + ac^2 + b^2c + bc^2) + 6abc = 216k^3.

Так как a^3 + b^3 + c^3 = (a^3 + b^3 + c^3), то для доказательства нужно доказать, что аргумент в скобках также делится на 6.

Осталось заметить, что каждое слагаемое из чисел a, b, c участвует в трех слагаемых вида a^2b, ab^2 и т.д.

То есть каждое слагаемое делится на 6. Исходя из этого, видно, что сумма кубов трех чисел a, b и c также делится на 6.

Таким образом, если сумма трех целых чисел делится на 6, то сумма кубов этих чисел также делится на 6.