В 6 мешочках лежат изумруды ,рубины и сапфиры .Число рубинов в каждом мешочке равно числу сапфиров в остальных мешочках вместе взятых,а число сапфиров в каждом мешочек ровно числу изумрудов в остальных мешочках вместе взятых.
Докажите что общее число камней делится на 31(ответ развёрнутый)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть в первом мешочке находится x изумрудов, y рубинов и z сапфиров. Тогда из условия задачи следует, что во всех остальных мешочках будет находиться по y сапфиров и по z рубинов.

Общее количество камней во всех мешочках равно 6(x + y + z). Так как у нас 3 разных типа камней с разными стоимостями, то чтобы доказать, что общее количество камней делится на 31, должно быть выполнено условие: (6x + 6y + 6z) % 31 = 0.

Посмотрим на правую часть условия. Так как 31 - простое число, то все операции взятия остатка дадут целочисленный результат, а значит, мы можем дополнительно взять остатки по модулю 31 внутри скобок: (6x + 6y + 6*z) % 31 = 0.

Теперь подставим значения x, y, z из условия: x + y + z = z + y + x = y + z + x. Это значит, что сумма всех трех чисел одинаковая и равна A. Тогда у нас получается: (6*A) % 31 = 0.

Но так как 6 и 31 взаимно простые числа, а остаток произведения чисел можно найти как произведение остатков этих чисел, то (6 * A) % 31 равно 0 тогда и только тогда, когда A % 31 равно 0. А это было определено нами как сумма x + y + z. Таким образом, общее число камней действительно делится на 31.