Доказать, что векторы образуют базис пространства R2 и написать разложение по этому базису вектора доказать, что векторы p=(3,-1) и q=(4,4) образуют базис пространства R2 и написать разложение по этому базису вектора a=(-3,4)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы доказать, что векторы p=(3,-1) и q=(4,4) образуют базис пространства R2, нужно показать, что они линейно независимы и что любой вектор из R2 можно представить в виде линейной комбинации этих векторов.

Линейная независимость:
Для того чтобы векторы p и q были линейно независимыми, нужно показать, что уравнение k1 p + k2 q = 0 имеет только тривиальное решение, где k1 и k2 - произвольные коэффициенты.
Подставим векторы p и q в уравнение:
k1 (3,-1) + k2 (4,4) = (3k1 + 4k2, -k1 + 4k2) = (0,0)
Отсюда получаем систему уравнений:
3k1 + 4k2 = 0
-k1 + 4k2 = 0
Решив данную систему, получим k1 = 0 и k2 = 0, что означает, что векторы p и q линейно независимы.

Спан:
Для того чтобы любой вектор из R2 можно было представить в виде линейной комбинации векторов p и q, необходимо показать, что система векторов p и q является порождающей для R2.
Рассмотрим произвольный вектор a = (-3,4).
Представим вектор a в виде линейной комбинации векторов p и q:
a = k1 p + k2 q
(-3,4) = k1 (3,-1) + k2 (4,4)
Составим систему уравнений и найдем решение:
3k1 + 4k2 = -3
-k1 + 4k2 = 4
Решив данную систему, получим k1 = 1 и k2 = -1.
Таким образом, вектор a можно представить в виде линейной комбинации векторов p и q: a = 1 (3,-1) - 1 (4,4).

Итак, векторы p=(3,-1) и q=(4,4) образуют базис пространства R2, так как они линейно независимы и любой вектор из R2 можно представить в виде линейной комбинации этих векторов.