Прямоугольник с гипотенузой 6 см и острым углом 30 градусов вращается вокруг меньшего катета.найти площадь поверхности полученного тела вращения

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Площадь поверхности тела вращения можно найти с помощью интеграла по формуле:

S = 2π ∫ y ds

где S - площадь поверхности тела вращения, y - функция, задающая форму грани вращения, ds - элемент площади поверхности, интегрируемый вдоль кривой.

Сначала найдем функцию y(x), которая задает форму прямоугольника при вращении вокруг меньшего катета. Из геометрии мы знаем, что для прямоугольника с гипотенузой 6 см и острым углом 30 градусов второй катет равен 3 см.

Таким образом, уравнение функции y(x) будет иметь вид y = 6 - x/tan(30°).

Теперь найдем элемент площади ds. Он равен L ds, где L - длина элемента дуги окружности, ds - длина элемента кривой. Так как дуга окружности задается углом, а не длиной, то L = r dφ, где r - радиус окружности, dφ - угловой элемент.

В данном случае радиус окружности r равен величине y, а угловой элемент dφ равен dx / r. Подставив значения, получаем: ds = sqrt(1 + (dy/dx)^2) * dx.

Теперь можем подставить функцию y(x) и элемент площади ds в формулу площади поверхности тела вращения:

S = 2π ∫ (6 - x/tan(30°)) * sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx,

где пределы интегрирования будут от 0 до 3.

После того, как найдем интеграл, получим площадь поверхности тела вращения.