Не могу решить... Найдите уравнение цилиндрической поверхности, направляющей которой служит окружность x^2+y^2=16; z=0; а образующая параллельна вектору l(1; 3; 2).
У меня получается (2x-z)2^2+(2y-3z)^2=не знаю чему.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения уравнения цилиндрической поверхности, проходящей через данную окружность, используем параметрическое уравнение цилиндра:

x = x0 + r cos(t)
y = y0 + r sin(t)
z = z0 + t

где (x0, y0, z0) - координаты центра окружности, r - радиус окружности, t - параметр, l(1, 3, 2) - направляющий вектор.

Из условия задачи x^2 + y^2 = 16 следует, что x0 = 0, y0 = 0, r = 4.

Также, так как образующая цилиндра параллельна вектору l(1, 3, 2), то координаты направляющего вектора будут равны коэффициентам при t:

l(1, 3, 2) = <a, b, c>

Отсюда получаем уравнение цилиндра:

(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 16
x = 4 cos(t)
y = 4 sin(t)
z = t

Таким образом, уравнение цилиндрической поверхности будет:

x = 4 cos(t)
y = 4 sin(t)
z = t

Альтернативный способ:

Пусть уравнение цилиндрической поверхности имеет вид:

(x - x0)^2 + (y - y0)^2 = r^2

Так как направляющий вектор просто задан, а не образует подобие вектора нормали👉 (т.к. нормаль=перпендикуляр направлению), то можем просто его нормализовать, вычислить его длину и, зная длину, подставить в формулу нормализации вектора. Получим следующее:

l = (1, 3, 2)
||l|| = sqrt(1^2 + 3^2 + 2^2) = sqrt(14)
l_normalized = (1/sqrt(14), 3/sqrt(14), 2/sqrt(14)) = (1/sqrt(14), 3/sqrt(14), 2/sqrt(14))

Обратите внимание на то, что если скалярное произведение вектора направляющего поверхности лежит на окружности, т.е. равно 16:

(4 1/sqrt(14))^2 + (4 3/sqrt(14))^2 = 16

то это и будет уравнение цилиндрической поверхности:

(4/sqrt(14))^2 (x - x0)^2 + (4 3/sqrt(14))^2 * (y - y0)^2 = 16

где x0=0 и y0=0. ⭕️