В правильной пирамиде SABCD высота SO в 2 раза больше стороны основания, AB=4√5. На ребре SC взята точка P (SP=PC), а на диагонали BD взята точка Q (BQ:BD=1:4). Найти расстояние от точки D до прямой PQ.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим сторону основания пирамиды SABCD как a. Тогда высота SO равна 2a. Также обозначим BD как b.

Из подобия пирамид SCD и SAB имеем: SC/SA = CD/AB, откуда получаем:
SC/a = b/(4√5) => SC = (ab) / (4√5).

Так как SP = PC, то PD = SC/2 = (ab) / (8√5).

Теперь рассмотрим треугольник BQD. Поскольку BQ:BD=1:4, то BQ = b/5. Согласно теореме Пифагора для треугольника BDQ:
DQ^2 + BQ^2 = BD^2,
DQ^2 + (b/5)^2 = b^2,
DQ = 24b/25.

Отсюда находим расстояние от точки D до прямой PQ:
PD = DQ - PQ = DQ - SP = 24b/25 - ab/8√5.