Задача по алгебре. Найдите все такие многочлены р (x) с коэффициентом 1 при старшем члене, что
(х-8)p(2х) = 8(х-1)р (х)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала раскроем скобки:

(х-8)p(2х) = 8(х-1)р(х)

хp(2х) - 8p(2х) = 8хр(х) - 8*р(х)

Теперь запишем многочлен р(x) в виде:

р(х) = аₙхⁿ + аₙ₋₁хⁿ⁻¹ + ... + а₁х + а₀

Подставим его в уравнение:

х(аₖ2ᵏхᵏ + аₖ₋₁2ᵏ⁻¹хᵏ⁻¹ + ... + а₁2x + а₀) - 8(аₖ2ᵏхᵏ + аₖ₋₁2ᵏ⁻¹хᵏ⁻¹ + ... + а₁2x + а₀) = 8*(аₖxᵏ + аₖ₋₁xᵏ⁻¹ + ... + а₁x + а₀)

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

2ᵏаₖ₊₁хᵏ₊₁ - 8аₖ₊₁хᵏ₊₁ + 2ᵏ⁻¹аₖ₊₁хᵏ - 8аₖ₊₁хᵏ + ... = 8аₖxᵏ + ...

Так как дано, что коэффициент при старшем члене равен 1, значит 8аₖ = 2ᵏаₖ₊₁, то есть аₖ₊₁ = 4*аₖ.

Таким образом, многочлен p(x) будет иметь вид:

p(x) = а₀ + а₁x + а₂x² + а₃*x³ + ...

где аₖ = 4⁻ᵏ*a₀, k=0,1,2,..., n-1.