Линейная алгебра

Решение, например, системы из 4 линейных уравнений методом Крамера занимает меньше минуты. И перед нами готовый результат – файл в ворде, который неотличим от того же файла, если решать «вручную».

Вот список задач, на примере которых здесь демонстрируется этот метод

1) Сложение и вычитание 2 матриц любой одинаковой размерности

2) Умножение числа на матрицу любой размерности

3) Умножение матрицы любой размерности на соответствующую матрицу, на которую умножение возможно

4) Нахождение обратной матрицы для квадратной матрицы любой размерности

4.1) Приведение данной матрицы любой размерности, у которой число строк меньше или равно числу столбцов, к ступенчатому виду и приведенному ступенчатому виду путем эквивалентных преобразований над строками. Этот же способ позволяет найти ранг матрицы (который равен числу единиц на главной диагонали матрицы приведенного ступенчатого вида либо числу ненулевых строк матрицы ступенчатого вида). Алгоритм пункта 4.1 работает где-то в 90 % случаев, если матрица не имеет «особенностей» (например, чрезмерное количество нулевых строк)

5) Нахождение определителей 2 и 3 порядка – по правилу Саррюса, более высокого порядка (4, 5, 6, …) – по правилу эквивалентных преобразований над строками. Возможно нахождение определителей 2 и 3 порядка не по правилу Саррюса, а по правилу эквивалентных преобразований над строками

6) Решение систем линейных уравнений с любым числом переменных по правилу Крамера, Гаусса, Жордана-Гаусса и матричным методом

7) Решение матричных уравнений вида XA = B

На практике, однако, есть некоторые ограничения.

1) Работа идет с целыми и рациональными числами (что составляет около 95 % практических задач)

2) Найти обратную матрицу размерности 5 на 5 уже занимает несколько страниц, и дальше ситуация становится только хуже (размер отчета растет лавинообразно с увеличением размерности матрицы)

3) Latex не может отобразить матрицы размерности больше 10 на 10, как снять это ограничение – интернет-поисковик в помощь

4) При решении систем уравнений неявно предполагается, что система имеет единственное решение, то есть рассматриваются только системы, у которых rank A = rank A(расширенная) = n. Чтобы решить системы, для которых это не так, надо сначала привести расширенную матрицу системы к приведенному ступенчатому виду (см п. 4.1)

5) Для корректной работы рекомендуется установка Mathcad 15.

В 14 версии точно глючит, 13 работает нормально, но там проблема с русскими шрифтами. В более высоких версиях, чем 15 не проверялось (возможно, будет работать)

6) Для корректной работы MikTex необходимо после установки вручную докачать пакеты, которых нет в программе по умолчанию. Докачивал все пакеты, какие было возможно, это по объему заняло намного больше, чем сама программа (папка в меню пуск MikTex -> Maintance -> Package Manager)