Работа идеального газа при изопроцессах

Стенки сосуда, в котором находится газ, подвергаются беспрестанной хаотичной «бомбардировке» молекулами, из которых он состоит. Скорости молекул велики, время соударения мало, молекул много, так что эта «молекулярная барабанная дробь» воспринимается стенкой как постоянное давление. Обусловленная давлением сила направлена по нормали к поверхности вовне, а величина силы, действующей на маленький элемент стенки площадью $δS$ есть $p\cdot δS$, где $р$ – давление газа. Далее мы рассматриваем квазистационарные («медленные») процессы, при которых давление р и температура $Т$ одинаковы во всех точках сосуда, содержащего газ.

Квазистационарные процессы

Пусть вся поверхность сосуда, занимаемого газом, или её часть под действием давления газа - или внешних сил - перемешается (деформируется). Выбрав очень маленькие элементы поверхности δS, настолько маленькие, что их можно рассматривать как материальные точки, сосчитаем для каждого из них работу «местной силы давления»:

$δА = (р \cdot δS)\cdot δх \cdot \cosα = p \cdot δS \cdot δn = p \cdotδV$,

где $δх$ – путь, пройденный элементом поверхности,

$α$ - угол между направлением перемещения элемента и направлением нормали к нему,

$δn$ – смещение элемента $δS$ вдоль нормали, направленной вовне,

$δV$ – приращение объёма сосуда в месте расположения элемента $δS$;

$δV$ – положительно, если объём увеличивается.

Выполнив суммирование по всем элементарным площадкам, получаем, что при очень маленьком изменении объёма газа $dV$, при котором давление почти постоянно, элементарная работа сил давления газа или кратко – элементарная работа газа $dА$ есть произведение давления газа $р$ на изменение $dV$ его объёма.

Первое начало

Основным энергетическим соотношением термодинамики является Квазистационарные процессы, которое выражается формулой $Q = A + ΔU$ со следующим правилом знаков:

• если газ получает тепло или теплоту – так в термодинамике называется переданная энергия - то её величина $Q$ положительна;
• $Q$ отрицательна, если газ отдаёт теплоту. $А$ – это результирующая работа газа при переходе из начального состояния в конечное, она является суммой элементарных работ, подсчитанных так, как описано выше;
• $ΔU$ – разность внутренних энергий газа в конечном и начальном состояниях, т.е. $ΔU = νсvΔT$ (описание обозначений – в конце статьи).

Изопроцессы

А вот теперь рассмотрим несколько типовых процессов в газах и определим для них величину работы.

Когда объём газа не меняется – а это изохорический процесс – то на всех его этапах $dV = 0$, $dА = 0$, следовательно, и результирующая работа газа равна нулю.

Когда давление газа неизменно – а это изобарический процесс – то при сложении элементарных работ постоянное давление можно вынести за скобку, а в скобке в итоге окажется разность конечного и начального объёмов газа, следовательно результирующая работа $А = р(V_к - V_н)$.

Когда температура газа постоянна – а это изотермический процесс – то производя сложение элементарных работ и выразив давление согласно уравнению Менделеева-Клапейрона, получим следующую формулу для результирующей работы: $А = ∑dА_i = ∑p_idV_i = νRT∑dV_i/V_i = νRTln(V_к/V_н)$, воспользовавшись помощью математики при подсчёте суммы.

Когда процесс происходит в теплоизолированном сосуде – а это адиабатный процесс, при котором $Q = 0$ – в таком случае, согласно первому началу термодинамики, работа $А = - ΔU = - νсvΔT = νсv(T_н – Т_к)$.

Таким образом, резюмируем

• адиабатный процесс: $А = νсv(T_н – Т_к)$;
• изобарический процесс: $А = р(V_к - V_н)$;
• изотермический процесс: $А = νRTln(V_к /V_н)$;
• изохорический процесс: $А = 0$,

где $V$ – объём газа, $р$ – давление, $Т$ – температура, $ν$ – число молей, $сv$ – молярная теплоёмкость при постоянном объёме, $R$ - универсальная газовая постоянная, индексы $н$ и $к$ указывают на начальное и конечное состояния.

Вам нужно срочно заказать статью по физике для публикации? Обратитесь за помощью к нашим экспертам!