Система отсчета

Говоря «пять метров», мы обычно подразумеваем расстояние от чего-то до чего-то. Говоря «скорость пять метров в секунду», мы можем засечь эту скорость только в определенной системе отсчета из-за относительности движения. И всегда можно найти такую систему отсчета, в которой эти пять метров в секунду преобразуются в ноль. Например, ту, где точкой отсчета будет само движущееся тело.

Система отсчета дает нам точку отсчета и оси. Чаще всего в физике используется декартова система координат, где оси перпендикулярны друг другу. Еще порой удобна в использовании полярная система – там используются один или два угла и длина вектора из точки отсчета в качестве осей.

Но выбор типа системы координат – не главная тема этой статьи, здесь мы воспользуемся декартовой системой. Главная тема тут – положение систем координат относительно друг друга.

Переход из одной системы отсчета в другую

В общем случае, чтобы рассмотреть движение тела в какой-нибудь отличной от данной системе отсчета, нужно определить все характеристики старой системы отсчета относительно новой (положение, направление, скорость, ускорение) и сложить их с характеристиками самого тела. В этой статье мы не будем рассматривать движущиеся системы отсчета (и сильно упростим себе задачу), потому что возьмем только две характеристики: положение и направление.

Переход в сдвинутую систему отсчета

Предположим, что мы мерили расстояние от дома до машины, а потом решили изменить точку отсчета с дома на ближайший столб. Можно перемерить расстояние от столба до машины, но машина, в отличие от столба, подвижный объект, и, допустим, она уже уехала. Тогда выход прост – надо посчитать расстояние от дома до столба.

После того, как оно станет известно, все, что нужно будет сделать – вычесть из расстояния от дома до машины расстояние от дома до столба.

Мы надеемся, что, измеряя расстояние от дома до столба, вы разделили его на X и Y по декартовой системе координат, и направление новой системы отсчета не изменилось. Если так, то система с точкой отсчета в столбе – это сдвинутая система отсчета относительно той, которая привязана к дому. Для перехода в нее вычислите радиус-вектор в новой системе отсчета и вычтите его из положения тела:

$R_{нов}=R_{стар}-RСО$

Переход в повернутую систему отсчета

Этот тип «отношений» между системами отсчета не настолько интуитивно понятен в вычислениях. Но допустим, вычисляя расстояние от дома до машины, вы не учли того, что за ось X надо было взять не перпендикуляр от стены дома, а вектор от дома к магазину. Точка отсчета не поменялась, а направление теперь совсем другое. Но заново мерить опять же не нужно. Все, что потребуется для преобразования, – угол α между осями X старой и новой систем отсчета. После этого к нам на помощь придет тригонометрия:

$\begin{cases}x'=x \cdot cos (α) +y \cdot sin⁡(α) \\ y'=y \cdot cos (α)-x \cdot sin⁡(α) \end{cases}$

Вот так просто и изящно – почти любой калькулятор вычислит синус и косинус. Полезно также знать, как перейти обратно из новой системы отсчета в старую:

$\begin{cases}x=x' \cdot cos (α) -y'\cdot sin⁡(α) \\ y=y' \cdot cos (α) +x'\cdot sin⁡(α) \end{cases}$

Переход в повернутую и сдвинутую систему отсчета

Можно было бы снова привести пример, но, скорее всего, и так понятно, что новой системой отсчета будет столб и направление к магазину. Комбинировать вышеприведенные формулы очень легко – нужно сначала вычесть радиус-вектор, как бы поставив системы в одну точку, а потом вычислить поворот по приведенной выше системе. В цельном виде это выглядит так:

$\begin{cases} x'=(x-xСО) \cdot cos (α) +(y-yСО)\cdot sin⁡(α) \\ y'=(y-yСО)\cdot cos (α) -(x-xСО)\cdot sin⁡(α) \end{cases}$

И обратное преобразование:

$\begin{cases} x=x'\cdot cos (α) -y' \cdot sin (α) +xСО \\ y=y' \cdot cos (α) +x'\cdot sin (α) +yСО \end{cases}$

Возникли трудности с работой по этой теме? У нас вы можете заказать научную статью по физике по низкой цене!

Тест по теме «Система отсчета»