Уравнение Эйнштейна

Имея обобщенное выражение второго закона механики (выражение силы), можно найти выражение кинетической энергии тела в релятивистской области.

Выражение второго закона механики

Выражение функциональной зависимости инертной массы тела от его скорости будет таким:

$m(u)=\frac{{{m}_{0}}}{\sqrt{1-{{u}^{2}}/{{c}^{2}}}}$

Отсюда следует, что с увеличением скорости тела его масса растет. При скорости, близкой к скорости света в вакууме, масса тела бесконечно возрастает; при малой скорости по сравнению со скоростью света она становится практически неизменной и равна массе покоя. Когда речь идет об изменении массы при изменении скорости тела, нельзя забывать, что речь идет о массе как физической величине, которая определяет инертные свойства тела, а не о массе, в качестве которой иногда понимают количество вещества (количество молекул).

Иными словами, формула функциональной зависимости инертной массы тела указывает на то, что с увеличением скорости тела его инертность растет.

То, что масса тела растет с увеличением его скорости, экспериментально подтвержденный факт. Его учитывают в расчетах работы ускорителей заряженных частиц; где вследствие больших скоростей масса их существенно возрастает.
Принимая во внимание данную функциональную зависимость, можно записать обобщенное выражение импульса тела:

$p=\frac{{{m}_{0}}u}{\sqrt{1-{{u}^{2}}/{{c}^{2}}}}$

Зависимость его изменения от действующей силы, то есть обобщенный второй закон механики, будет иметь вид

$F=(\frac{{{m}_{0}}u}{\sqrt{1-{{u}^{2}}/{{c}^{2}}}})\frac{d}{dt}$

Вывод зависимости

Действительно, по определению прирост кинетической энергии тела равен работе силы: $dT=Fudt$. Подставив вместо $Fdt$ соответствующее выражение из уравнения выше, получим

$dT=ud(\frac{{{m}_{0}}u}{\sqrt{1-{{u}^{2}}/{{c}^{2}}}})$

После дифференцирования получим

$dT={{m}_{0}}\left[ \frac{udu}{\sqrt{1-{{u}^{2}}/{{c}^{2}}}}+\frac{{{u}^{2}}du}{{{\left( 1-\frac{{{u}^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}^{3/2}}{{c}^{2}}} \right]$

Если сумму в квадратных скобках свести к общему знаменателю, а в числителе приравнять подобные члены, то получим

$dT=\frac{{{m}_{0}}udu}{{{\left( 1-\frac{{{u}^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}^{3/2}}}$

Как известно, с увеличением скорости растет не только кинетическая энергия тела, но и его масса; согласно формуле функциональной зависимости инертной массы:

$dm=\frac{{{m}_{0}}udu}{{{c}^{2}}{{\left( 1-\frac{{{u}^{2}}}{{{c}^{2}}} \right)}^{3/2}}}$
Сопоставив выражения, найдем взаимосвязь между приростом энергии тела $dT$ и приростом его массы $dm$, а именно:

$dT=c^2dm$

$dT={{c}^{2}}dm$

По выражению следует, что изменение энергии тела прямо пропорционально изменению его массы. На основании этой зависимости делаем вывод, что между энергией тела в целом и его массой существует взаимосвязь, которая выражается формулой $E=mc^2$.

Зависимость $E=mc^2$ иначе называют законам взаимоотношения массы и энергии.

Из данного соотношения следует, что масса тела может измениться не только вследствие изменения количества его атомов или молекул в процессах массообмена, но и через изменение энергии тела (например, в процессах передачи теплоты, при излучении света и т.п.) в соответствии с формулой

$\Delta m=\frac{\Delta E}{{{c}^{2}}}$

Энергию тела в состоянии покоя, равной $E_{вн}=m_0c^2$, называют внутренней энергией тела.

Ядерная энергия

Экспериментальные подтверждения закона взаимосвязи массы и энергии дают ядерные реакции. Характерным следствием их является дефект массы, то есть возникновение разницы между суммарной массой частиц до и после реакции. Уменьшение массы покоя в ядерной реакции означает, что часть ее превратилась в кинетическую массу, а соответствующая часть внутренней энергии начальных ядер – в кинетическую энергию новых ядер.

Под дефектом массы в современной физике определяют энергию ядерных реакций.

Формула $E=mc^2$ указывает на огромные запасы ядерной энергии.

Заметим, что иногда из закона взаимосвязи массы и энергии делают ошибочный вывод о возможности преобразования массы в энергию. Так может думать только тот, кто не понимает различия между массой покоя, которой оперирует классическая физика, и массой в теории относительности. На самом деле в любой ядерной реакции полная масса обломков ядра равна полной массе начального ядра. Также полная энергия обломков равна полной энергии начального ядра. Как уже отмечалось, в ядерной реакции происходят только превращения части массы покоя начальных ядер в кинетическую массу их обломков и соответствующее преобразование внутренней энергии начальных ядер в кинетическую энергию осколков.

Научная статья по физике на заказ от проверенных экспертов по низкой цене!

Тест по теме «Уравнение Эйнштейна»