Ускорение тела

Скорость тела в инерциальной системе отсчета может изменяться под действием внешних воздействий на тело. Ускорение является характеристикой этого изменения.

Определение и физический смысл

Ускорение для скорости является тем же самым, что скорость для радиус-вектора: производной по времени.

Мгновенным ускорением называется первая производная по времени от мгновенной скорости:

$\overrightarrow{a}=\frac{d\overrightarrow{v}}{dt}$

Средним ускорением называется отношение вектора изменения скорости материальной точки, которая состоялась за время $Δt,$ к величине времени $Δt$:

$\overrightarrow{{{a}_{ср}}}=\frac{\Delta \overrightarrow{v}}{\Delta t}$

Единицей измерения ускорения в системе СИ является метр, разделенный на секунду в квадрате – м /с2.

Физический смысл ускорения заключается в том, что ускорение - это физическая величина, которая показывает, как со временем меняется скорость тела.

Пример 1

Вычисление ускорения
Координаты материальной точки, движущейся в плоскости xy, определяются формулами:

$x = At^4 + Bt^2,$ $y = Ct^3- t,$ где $A = 0,25 м/с^4$; $B = 0,5 м / с2; $C = 1/3 м / с^3;$ $D = 1 м / с.$

Найти вектор ускорения и его модуль.

Решение

Продифференцируем выражения для проекций скорости по времени и получим проекции координаты вектора ускорения в нужный момент времени:

$ax = \frac{d}{dt}({{t}^{3}}+\text{ }t)=3\cdot {{t}^{2}}+1=3\cdot {{1}^{2}}+1=4$ м/с2;

$ay = \frac{d}{dt}({{t}^{2}}+1)=2\cdot t=2\cdot 1=2$ м/с2.

Вектор скорости:

$\vec{a}=2\cdot (2\cdot \vec{i}+\vec{j})$ м/с2.

Его модуль:

$a=\sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}=\sqrt{4_{{}}^{2}+2_{{}}^{2}}=2\sqrt{5}\approx 4,5$ м/с

Нормальное и тангенциальное ускорения

Рассматривая движение материальной точки по криволинейной траектории, удобно вектор полного ускорения разложить на две взаимно перпендикулярных компоненты: $a_τ$ –тангенциальное и $a_n$ –нормальное ускорение:

Вектор тангенциального ускорения имеет направление вдоль касательной, а нормальное ускорение - вдоль нормали к траектории. Модуль тангенциального ускорения является первой производной по времени от модуля скорости:

Модуль нормального ускорения зависит от радиуса кривизны траектории в данной точке траектории и модуля скорости:

$|{\vec{a}}_{\tau}|={a}_{\tau}={\dot{v}}$

Вектор полного ускорения является векторной суммой тангенциального и нормального ускорений:

$\vec{a}={{\vec{a}}_{\tau }}+{{\vec{a}}_{n}}$

Модуль полного ускорения находят по теореме Пифагора:

$a=|{\vec{a}}|=\sqrt{a_{\tau }^{2}+a_{n}^{2}}=\sqrt{{{{\dot{v}}}^{2}}+\frac{{{v}}^{4}}{{{R}^{2}}}}$

Движение точки называется ускоренным, если численное значение ее скорости увеличивается со временем, то есть $а > 0$ движение точки называется замедленным, если численное значение ее скорости уменьшается со временем, то есть $а < 0$. Если $a_τ = 0$, то материальная точка совершает равномерное движение, а если $a_n = 0$ – движение по прямой (прямолинейное движение). Величины $a_τ$ и $a_n$ характиризуют скорость изменения в соответствии с численным значением и направлением скорости движущейся материальной точки.

Пример 2

Тело подбросили под углом α к горизонту. Для момента времени, когда вектор скорости будет составлять угол $\phi=30^{\circ}$ с горизонтальной линией. Найти: 1) нормальное, 2) тангенциальное, 3) полное ускорение.

Решение

Полное ускорение– это ускорение свободного падения $a=g$. Из рисунка получим^

${{a}_{n}}=g\cos \phi =9,8\cos {{30}^{\circ }}\approx 8,49\text{ }/{{}^{2}}$,

${{a}_{\tau }}=g\sin \phi =9,8\sin {{30}^{\circ }}\approx 4,90\text{ }/{{}^{2}}$,

$a=\sqrt{a_{n}^{2}+a_{\tau }^{2}}=$

$=\sqrt{{{8,49}^{2}}+{{4,90}^{2}}}\approx 9,8\text{ }/{{}^{2}}.$

Ответ: ${{a}_{n}}\approx 8,49\text{ }/{{}^{2}}$, ${{a}_{\tau }}\approx 4,90\text{ }/{{}^{2}}$, $a\approx 9,8\text{ }/{{}^{2}}.$

Не знаете, где заказать написание статьи по физике на заказ? Авторы Студворк к вашим услугам!

Тест по теме «Ускорение тела»