Волновая функция

Волновая функция связана с плотностью вероятности нахождения частицы в некоторой области пространства в некоторый момент времени следующим образом: вероятность нахождения частицы в некоторой точке пропорциональна квадрату модуля волновой функции в ней.
Волновая функция является функцией от всех степеней свободы этой частицы, которым, в свою очередь, соответствует некоторый набор коммутирующих квантовых переменных.

В отличие от классического описания, в котором частицы рассматриваются как материальные точки, имеющие определенную координату, а их движение полностью описывается траекторией и скоростью, волна, когда ее описывает волновая функция, не локализована в одной точке, а в общем виде занимает все бесконечное пространство (хотя большая ее часть, как правило, сосредоточена в некоторой области). Таким образом, при таком описании понятие траектории не имеет смысла, а движение описывается в терминах потока энергии и импульса.

С волновой природой частиц связаны такие явления, как дифракция и интерференция массивных частиц, квантование уровней энергии гармонического осциллятора, принцип неопределенности и другие.

Описание квантовой системы с помощью функции, которая бы описывала ее волновые свойства предложил Эрвин Шредингер.

Свойства волновой функции

Поскольку волновая функция является комплексной, ее можно выразить в виде

$ψ = R (x, y, z, t) ei α (x, y, z, t)$

В таком случае R является модулем функции, $а$ $ei$ $α$ $(x, y, z, t)$ называют фазовым множителем.

Из этой записи видно, что при умножении волновой функции на некоторое число $ei$ $β$, значения амплитуд вероятности, что ей отвечают, не изменятся. Такое умножение называется глобальным фазовым поворотом, или глобальным калибровочным преобразованием, а симметрия относительно такого преобразования (она относится к группе симметрии U (1)) является одним из видов калибровочной инвариантности.
Из физических соображений, на $ψ$-функцию накладываются следующие ограничения: она должна быть однозначной, непрерывной и квадратично-интегрированной (последнее условие означает существование интеграла от квадрата функции).

Также, поскольку частица не может бесследно исчезнуть, вероятность нахождения ее в бесконечно большом пространстве будет равна единице, то есть является достоверной:

${{\int\limits_{\infty }{\left| \psi (r,t) \right|}}^{2}}dV=1$

Это условие называется условием нормирования волновой функции. Она выполняется в практически во всех реальных случаях, однако в некоторых важных теоретических моделях, таких как модель частицы, движущейся при отсутствии внешних полей, ψ-функция не приходит в бесконечности, а потому нормирование не представляется возможным. Такие состояния называют делокализованными.

Обычно при выводе волновой функции из некоторых теоретических соображений, $ψ$-функция оказывается ненормированной, и этот интеграл оказывается равным некоторому числу n. В таком случае, для нормирования достаточно разделить $ψ$-функцию на n.

Уравнение Шредингера

Основным уравнением квантовой механики, которое используется для нахождения волновой функции в конкретных условиях является уравнение Шредингера:

$i\hbar \frac{d\psi (r,t)}{dt}=-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2m}\Delta \psi (r,t)+U(x,y,z,t)\psi,$

где $U$ - потенциальная энергия, а $Δ$ - лапласиан.

Для нахождения $ψ$-функции, уравнение сначала решают в общем виде для заданного U, а затем, подставляя граничные условия, получают частное решение.

Поскольку уравнение Шредингера является линейным и однородным дифференциальным уравнением, оно обладает важным свойством: если оно имеет несколько решений, $φ1$, $φ2$, $φ3$ и т.д., то любая линейная комбинация этих решений также будет решением.

Это свойство называется принципом суперпозиции. Его физическая интерпретация заключается в том, что частица имеет некую вероятность нахождения в любом из возможных для нее состояний.

Практически важным вариантом уравнения Шредингера является случай стационарного поля, то есть такого, когда U не зависит от времени. В таком поле волновая функция тоже является стационарной. Кроме того, в этом случае полная механическая энергия частицы остается постоянной.

Уравнение Шредингера является нерелятивистским и не учитывает спин частиц.

Для таких случаев используются уравнения Клейна-Гордона и уравнение Паули для частиц со спином.

Заказать статью по физике у экспертов биржи Студворк!

Тест по теме «Волновая функция»