Нахождение расстояния между двумя точками

Здесь будет калькулятор

Расстояние между двумя точками на прямой

Рассмотрим координатную прямую, на которой отмечены 2 точки: $A$ и $B$. Чтобы найти расстояние между этими точками, нужно найти длину отрезка $AB$. Это делается при помощи следующей формулы:

Расстояние между двумя точками на прямой

$AB=|a-b|$,

где $a, b$ — координаты этих точек на прямой (координатной прямой).

Ввиду того, что в формуле присутствует модуль, при решении не принципиально, из какой координаты какую вычитать (так как берется абсолютная величина этой разности).

То есть:

$|a-b|=|b-a|$

Разберем пример, чтобы лучше понять решение подобных задач.

Пример 1

На координатной прямой отмечены точка $A$, координата которой равна $9$ и точка $B$ с координатой $-1$. Нужно найти расстояние между этими двумя точками.

Решение

Здесь $a=9, b=-1$

Пользуемся формулой и подставляем значения:

$AB=|a-b|=|9-(-1)|=|10|=10$

Ответ

10

Расстояние между двумя точками на плоскости

Рассмотрим две точки, заданные на плоскости. Из каждой отмеченной на плоскости точки нужно опустить по два перпендикуляра: На ось $OX$ и на ось $OY$. Затем рассматривается треугольник $ABC$. Так как он является прямоугольным ($BC$ перпендикулярно $AC$), то найти отрезок $AB$, он же является и расстоянием между точками, можно с помощью теоремы Пифагора. Имеем:

$AB^2=AC^2+BC^2$

Но, исходя из того, что длина $AC$ равна $x_B-x_A$, а длина $BC$ равна $y_B-y_A$, эту формулу можно переписать в следующем виде:

Расстояние между двумя точками на плоскости

$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$,

где $x_A, y_A$ и $x_B, y_B$ — координаты точек $A$ и $B$ соответственно.

Пример 2

Необходимо найти расстояние между точками $C$ и $F$, если координаты первой $(8;-1)$, а второй — $(4;2)$.

Решение

$x_C=8$
$y_C=-1$
$x_F=4$
$y_F=2$

$CF=\sqrt{(x_F-x_C)^2+(y_F-y_C)^2}=\sqrt{(4-8)^2+(2-(-1))^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$

Ответ

5

Расстояние между двумя точками в пространстве

Нахождение расстояния между двумя точками в этом случае происходит аналогично предыдущему за исключением того, что координаты точки в пространстве задаются тремя числами, соответственно, в формулу нужно добавить еще и координату оси аппликат. Формула примет такой вид:

Расстояние между двумя точками в пространстве

$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$

Пример 3

Найти длину отрезка $FK$ в пространстве, если координаты точек его концов таковы: $(-1;-1;8)$ и $(-3;6;0)$. Ответ округлить до целого числа.

Решение

$F=(-1;-1;8)$
$K=(-3;6;0)$

$FK=\sqrt{(x_K-x_F)^2+(y_K-y_F)^2+(z_K-z_F)^2}=\sqrt{(-3-(-1))^2+(6-(-1))^2+(0-8)^2}=\sqrt{117}\approx10.8$

По условию задачи нам нужно округлить ответ до целого числа.

Ответ

10

Заказать статью по математике у экспертов биржи Студворк!