Нахождение расстояния от точки до плоскости

Тест: 3 вопроса

Наклонная длиной 16 см образует со своей проекцией угол в 60°. Определите длину проекции.

32 см

8 см

18 см

6 см

2. Две наклонные, длиной 10 см образуют между собой угол в 60 градусов. Чему равно расстояние между основаниями этих наклонных?

5 см

10 см

15 см

20 см

Выберите верные утверждения.

Если наклонные равны, то равны и их проекции.

Если проекции наклонных равны, то равны и наклонные.

Наклонная равна перпендикуляру

Расстояние от точки до плоскости

Расстоянием от точки до плоскости принято считать длину отрезка, который опущен из этой точки к данной плоскости, причем отрезок этот является перпендикуляром, то есть образует с плоскостью угол в 90 градусов.

Основным способом нахождения данного расстояние является метод использования уравнения плоскости и координат точки.

Если плоскость задана уравнением:

$Ax+By+Cz+D=0$ ,

и имеются координаты точки $M(x_M, y_M, z_M)$ , то расстояние от этой точки до данной плоскости можно найти следующим образом:

Расстояние от точки до плоскости

$d=\frac{A\cdot x_M+B\cdot y_M+C\cdot z_M+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$ ,

где $A, B, C, D$ — коэффициенты, задающие плоскость, а $(x_M, y_M, z_M)$ — координаты точки $M$ .

Здесь будет калькулятор

Пример 1

Дано уравнение плоскости $5x-7y+2z+3=0$ и точка с координатами $(1; -3; 8)$ . Требуется найти расстояние между точкой и плоскостью.

Решение

В данном случае:

$A=5$
$B=-7$
$C=2$
$D=3$
$x_M=1$
$y_M=-3$
$z_M=8$

Пользуясь формулой, можно найти расстояние:

$d=\frac{A\cdot x_M+B\cdot y_M+C\cdot z_M+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=\frac{5\cdot 1+(-7)\cdot (-3)+2\cdot 8+3}{\sqrt{5^2+(-7)^2+2^2}}\approx5$

Ответ

$5$

Возможен также вариант, когда уравнение плоскости не задано, но в задаче приведен треугольник.

Пример 2

Найти расстояние от заданной точки до плоскости, если известна длина отрезка $H_1H_2$ равная $3\text{ см}$ и длина отрезка $MH_2$ , которая на $2\text{ см}$ больше $H_1H_2$ . Найти расстояние от точки $M$ до плоскости.

Решение

В рассматриваемой задаче искомой длиной будет длина отрезка $MH_1$ . Включаем данные нам отрезки в прямоугольный треугольник. Тогда, по теореме Пифагора:

$(MH_2)^2=(MH_1)^2+(H_1H_2)^2$

Отсюда:

$(MH_1)^2=(MH_2)^2-(H_1H_2)^2$

Поскольку, $MH_2$ = $H_1H_2+2=3+2=5$ , то:

$(MH_1)^2=(MH_2)^2-(H_1H_2)^2=25-9=16$

$d=MH_1=4\text{ см}$

Ответ

$4\text{ см}$

Заказать статью по математике у экспертов биржи Студворк!

Нахождение расстояния от точки до плоскости

Тест по теме «Нахождение расстояния от точки до плоскости»

Комментарии
1

Предыдущая статья

Следующая статья

Интересные статьи за сегодня

Нахождение расстояния от точки до плоскости

Тест по теме «Нахождение расстояния от точки до плоскости»

Комментарии 1

Предыдущая статья

Следующая статья

Интересные статьи за сегодня

Комментарии
1