328
4 Авг 2018 в 19:44 04.08.2018 в 19:44

Нахождение расстояния от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости

Расстоянием от точки до плоскости принято считать длину отрезка, который опущен из этой точки к данной плоскости, причем отрезок этот является перпендикуляром, то есть образует с плоскостью угол в 90 градусов.

Основным способом нахождения данного расстояние является метод использования уравнения плоскости и координат точки.

Если плоскость задана уравнением:

Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0,

и имеются координаты точки M(xM,yM,zM)M(x_M, y_M, z_M), то расстояние от этой точки до данной плоскости можно найти следующим образом:

Расстояние от точки до плоскости

d=AxM+ByM+CzM+DA2+B2+C2d=\frac{A\cdot x_M+B\cdot y_M+C\cdot z_M+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}},

где A,B,C,DA, B, C, D — коэффициенты, задающие плоскость, а (xM,yM,zM)(x_M, y_M, z_M) — координаты точки MM.

Здесь будет калькулятор

Пример 1

Дано уравнение плоскости 5x7y+2z+3=05x-7y+2z+3=0 и точка с координатами (1;3;8)(1; -3; 8). Требуется найти расстояние между точкой и плоскостью.

Решение

В данном случае:

A=5A=5
B=7B=-7
C=2C=2
D=3D=3
xM=1x_M=1
yM=3y_M=-3
zM=8z_M=8

Пользуясь формулой, можно найти расстояние:

d=AxM+ByM+CzM+DA2+B2+C2=51+(7)(3)+28+352+(7)2+225d=\frac{A\cdot x_M+B\cdot y_M+C\cdot z_M+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}=\frac{5\cdot 1+(-7)\cdot (-3)+2\cdot 8+3}{\sqrt{5^2+(-7)^2+2^2}}\approx5

Ответ

55

Возможен также вариант, когда уравнение плоскости не задано, но в задаче приведен треугольник.

Пример 2

Найти расстояние от заданной точки до плоскости, если известна длина отрезка H1H2H_1H_2 равная 3 см3\text{ см} и длина отрезка MH2MH_2, которая на 2 см2\text{ см} больше H1H2H_1H_2. Найти расстояние от точки MM до плоскости.

Решение

В рассматриваемой задаче искомой длиной будет длина отрезка MH1MH_1. Включаем данные нам отрезки в прямоугольный треугольник. Тогда, по теореме Пифагора:

(MH2)2=(MH1)2+(H1H2)2(MH_2)^2=(MH_1)^2+(H_1H_2)^2

Отсюда:

(MH1)2=(MH2)2(H1H2)2(MH_1)^2=(MH_2)^2-(H_1H_2)^2

Поскольку, MH2MH_2=H1H2+2=3+2=5H_1H_2+2=3+2=5, то:

(MH1)2=(MH2)2(H1H2)2=259=16(MH_1)^2=(MH_2)^2-(H_1H_2)^2=25-9=16

d=MH1=4 смd=MH_1=4\text{ см}

Ответ

4 см4\text{ см}

+0
-0
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Где лучше всего студентам живется?
5998 +89
1
Сегодня вы студент, а завтра уже нет. Как вернуться к учебе после отчисления?
6774 +74
0
Все секреты SAT и ACT.
478 +62
0
Форму набора каждый выбирает сам – по возможностям или по желанию. Спешим обрадовать: у коммерции тоже есть плюсы.
6080 +59
1
Особенности онлайн-общения с будущим работодателем.
486 +58
0
Автор
Хотите выполнять заказы? Стать автором
Заказчик
Хотите заказать работу? Разместить заказ
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 28 759 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут