Для того, чтобы однозначно построить плоскость, необходимы три точки, которые не лежат на одной прямой.
Общее уравнение плоскости принимает вид:
Общее уравнение плоскости
Ax+By+Cz+D=0,
где A,B,C,D — коэффициенты, задающие плоскость. Они не могут быть одновременно равны нулю.
Здесь будет калькулятор
Составление уравнения плоскости по трем точкам
Текст цитаты
В случае, когда известны координаты всех трех точек, уравнение плоскости, проходящей через эти точки составляется с помощью определителя:
Уравнение плоскости через определитель
∣∣∣∣∣∣ x−x1 y−y1 z−z1 x2 −x1 y2 −y1 z2 −z1 x3 −x1 y3 −y1 z3 −z1 ∣∣∣∣∣∣ =0,
где (x1 ;y1 ;z1 ),(x2 ;y2 ;z2 ),(x3 ;y3 ;z3 ) — координаты точек, через которые проходит данная плоскость, а (x;y;z) — всевозможные координаты точек этой плоскости.
Составить уравнения плоскости проходящей через три точки с координатами (1;3;0),(5;6;4),(−1;−4;0).
Решение
Пусть:
x1 =1
y1 =3
z1 =0
x2 =5
y2 =6
z2 =4
x3 =−1
y3 =−4
z3 =0
Составляем определитель:
∣∣∣∣∣∣ x−x1 y−y1 z−z1 x2 −x1 y2 −y1 z2 −z1 x3 −x1 y3 −y1 z3 −z1 ∣∣∣∣∣∣ =0
∣∣∣∣∣∣ x−1y−3z−0 5−16−34−0 −1−1−4−30−0 ∣∣∣∣∣∣ =0
∣∣∣∣∣∣ x−1y−3z 434 −2−70 ∣∣∣∣∣∣ =0
28x−8y−22z−4=0 — уравнение искомой плоскости.
Ответ
28x−8y−22z−4=0
Уравнение плоскости по точке и вектору нормали
Если дана точка, лежащая на плоскости и вектор нормали к этой плоскости, то сама плоскость задается уравнением:
Уравнение плоскости по точке и нормали
(x−x0 )⋅n1 +(y−y0 )⋅n2 +(z−z0 )⋅n3 =0,
где (x0 ;y0 ;z0 ) — координаты точки, принадлежащей плоскости, а (n1 ;n2 ;n3 ) — координаты вектора нормали к этой плоскости.
Выпишите уравнение плоскости, если даны: координата точки плоскости (8;−2;9) и вектор нормали (1;3;5).
Решение
x0 =8
y0 =−2
z0 =9
n1 =1
n2 =3
n3 =5
(x−x0 )⋅n1 +(y−y0 )⋅n2 +(z−z0 )⋅n3 =0
(x−8)⋅1+(y−(−2))⋅3+(z−9)⋅5=0
x−8+3y+6+5z−45=0
x+3y+5z−47=0 — уравнение плоскости.
Проверка
Чтобы убедиться в том, что задача решена правильно, без ошибок, необходимо в полученное уравнение подставить координаты точки, которые даны в условии задачи:
8+3⋅(−2)+5⋅9−47=0
0=0 — верно, значит ответ правильный.
Ответ
x+3y+5z−47=0
Комментарии