430
5 Авг 2018 в 14:15 05.08.2018 в 14:15

Составление уравнения плоскости

Содержание

Для того, чтобы однозначно построить плоскость, необходимы три точки, которые не лежат на одной прямой.

Общее уравнение плоскости принимает вид:

Общее уравнение плоскости

Ax+By+Cz+D=0Ax+By+Cz+D=0,

где A,B,C,DA, B, C, D — коэффициенты, задающие плоскость. Они не могут быть одновременно равны нулю.

Здесь будет калькулятор

Составление уравнения плоскости по трем точкам

В случае, когда известны координаты всех трех точек, уравнение плоскости, проходящей через эти точки составляется с помощью определителя:

Уравнение плоскости через определитель

xx1x2x1x3x1yy1y2y1y3y1zz1z2z1z3z1=0\begin{vmatrix} x-x_1 & x_2-x_1 & x_3-x_1 \\ y-y_1 & y_2-y_1 & y_3-y_1 \\ z-z_1 & z_2-z_1 & z_3-z_1 \\ \end{vmatrix}=0,

где (x1;y1;z1),(x2;y2;z2),(x3;y3;z3)(x_1;y_1;z_1), (x_2;y_2;z_2), (x_3;y_3;z_3) — координаты точек, через которые проходит данная плоскость, а (x;y;z)(x; y; z) — всевозможные координаты точек этой плоскости.

Задача 1

Составить уравнения плоскости проходящей через три точки с координатами (1;3;0),(5;6;4),(1;4;0)(1;3;0), (5;6;4), (-1;-4;0).

Решение

Пусть:

x1=1x_1=1
y1=3y_1=3
z1=0z_1=0
x2=5x_2=5
y2=6y_2=6
z2=4z_2=4
x3=1x_3=-1
y3=4y_3=-4
z3=0z_3=0

Составляем определитель:

xx1x2x1x3x1yy1y2y1y3y1zz1z2z1z3z1=0\begin{vmatrix} x-x_1 & x_2-x_1 & x_3-x_1 \\ y-y_1 & y_2-y_1 & y_3-y_1 \\ z-z_1 & z_2-z_1 & z_3-z_1 \\ \end{vmatrix}=0

x15111y36343z04000=0\begin{vmatrix} x-1 & 5-1 & -1-1 \\ y-3 & 6-3 & -4-3 \\ z-0 & 4-0 & 0-0 \\ \end{vmatrix}=0

x142y337z40=0\begin{vmatrix} x-1 & 4 & -2 \\ y-3 & 3 & -7 \\ z & 4 & 0 \\ \end{vmatrix}=0

28x8y22z4=028x-8y-22z-4=0 — уравнение искомой плоскости.

Ответ

28x8y22z4=028x-8y-22z-4=0

Уравнение плоскости по точке и вектору нормали

Если дана точка, лежащая на плоскости и вектор нормали к этой плоскости, то сама плоскость задается уравнением:

Уравнение плоскости по точке и нормали

(xx0)n1+(yy0)n2+(zz0)n3=0(x-x_0)\cdot n_1+(y-y_0)\cdot n_2+(z-z_0)\cdot n_3=0,

где (x0;y0;z0)(x_0;y_0;z_0) — координаты точки, принадлежащей плоскости, а (n1;n2;n3)(n_1;n_2;n_3) — координаты вектора нормали к этой плоскости.

Задача 2

Выпишите уравнение плоскости, если даны: координата точки плоскости (8;2;9)(8;-2;9) и вектор нормали (1;3;5)(1;3;5).

Решение

x0=8x_0=8
y0=2y_0=-2
z0=9z_0=9
n1=1n_1=1
n2=3n_2=3
n3=5n_3=5

(xx0)n1+(yy0)n2+(zz0)n3=0(x-x_0)\cdot n_1+(y-y_0)\cdot n_2+(z-z_0)\cdot n_3=0

(x8)1+(y(2))3+(z9)5=0(x-8)\cdot 1+(y-(-2))\cdot 3+(z-9)\cdot 5=0

x8+3y+6+5z45=0x-8+3y+6+5z-45=0

x+3y+5z47=0x+3y+5z-47=0 — уравнение плоскости.

Проверка

Чтобы убедиться в том, что задача решена правильно, без ошибок, необходимо в полученное уравнение подставить координаты точки, которые даны в условии задачи:

8+3(2)+5947=08+3\cdot(-2)+5\cdot9-47=0

0=00=0 — верно, значит ответ правильный.

Ответ

x+3y+5z47=0x+3y+5z-47=0

+0
-0
Нет комментариев
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат

Интересные статьи за сегодня

Где лучше всего студентам живется?
5641 +74
1
Форму набора каждый выбирает сам – по возможностям или по желанию. Спешим обрадовать: у коммерции тоже есть плюсы.
5809 +61
0
Особенности онлайн-общения с будущим работодателем.
361 +47
0
Все секреты SAT и ACT.
210 +44
0
Какие факторы влияют на трудоустройство выпускников?
1890 +35
1
Автор
Хотите выполнять заказы? Стать автором
Заказчик
Хотите заказать работу? Разместить заказ
Доверьте свою работу экспертам
Разместите заказ
Наша система отправит ваш заказ на оценку 28 663 авторам
Первые отклики появятся уже в течение 10 минут