279
1 Авг в 10:1901.08.2018 в 10:19

Частные производные

Пусть f(x1,x2,,xn)f(x_1,x_2,\cdots,x_n) – функция nn переменных (в стандартных курсах рассматриваются функции
двух f(x,y)f(x,y) или трех f(x,y,z)f(x,y,z) переменных).

Частной производной функции f(x1,x2,,xn)f(x_1,x_2,\cdots,x_n) по аргументу xkx_k называется предел

fxk=limε0f(x1,,xk+ε,,xn)f(x1,,xk,,xn)ε, \frac{\partial f}{\partial x_k}=\lim\limits_{\varepsilon\to 0}\frac{f(x_1,\cdots,x_k+\varepsilon,\cdots,x_n)-f(x_1,\cdots,x_k,\cdots,x_n)}{\varepsilon},

если он существует.

Говоря проще, частная производная по аргументу xkx_k вычисляется как обычная производная, при этом все остальные аргументы x1,,xk1,xk+1,,xnx_1,\cdots,x_{k-1},x_{k+1},\cdots,x_n считаются константами.

Для частной производной также используются обозначения fxkf'_{x_k} и даже fxkf_{x_k}.

Производная

2fxk2=xk(fxk) \frac{\partial^2f}{\partial x_k^2}=\frac{\partial}{\partial x_k}\left(\frac{\partial f}{\partial x_k}\right)

называется повторной, а производная

2fxkxi=xk(fxi) \frac{\partial^2f}{\partial x_k\partial x_i}=\frac{\partial}{\partial x_k}\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)

iki\ne k

называется смешанной.

Смешанная производная не зависит от порядка:
2fxkxi=2fxixk. \frac{\partial^2f}{\partial x_k\partial x_i}=\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_k}.

Пример 1

Найти частные производные функции

f(x,y)=x2sinycos3xyf(x,y)=x^2\sin y-\cos{3xy}.

Дифференцируем функцию по аргументу xx считая, что yy – константа:

fx=x(x2sinycos3xy)=2xsiny+3ysin3xy. \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}\left(x^2\sin y-\cos{3xy}\right)=2x\sin y+3y\sin{3xy}.

Дифференцируем функцию по аргументу yy считая, что xx – константа:

fy=y(x2sinycos3xy)=x2cosy+3xsin3xy. \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left(x^2\sin y-\cos{3xy}\right)=x^2\cos y+3x\sin 3xy.

Пример 2

Найти повторные и смешанные производные функции

u(x,y,z)=xyz+z3+y2+xu(x,y,z)=xyz+z^3+y^2+x.

Первые производные:

ux=x(xyz+z3+y2+x)=yz+1, u_x=\frac{\partial }{\partial x}\left(xyz+z^3+y^2+x\right)=yz+1,

uy=y(xyz+z3+y2+x)=xz+2y, u_y=\frac{\partial }{\partial y}\left(xyz+z^3+y^2+x\right)=xz+2y,

uz=z(xyz+z3+y2+x)=xy+3z2. u_z=\frac{\partial }{\partial z}\left(xyz+z^3+y^2+x\right)=xy+3z^2.

Повторные производные:

uxx=uxx=x(yz+1)=0, u_{xx}=\frac{\partial u_x}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(yz+1)=0,

uyy=uyy=y(xz+2y)=2, u_{yy}=\frac{\partial u_y}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(xz+2y)=2,

uzz=uzz=z(xy+3z2)=6z. u_{zz}=\frac{\partial u_z}{\partial z}=\frac{\partial }{\partial z}\left(xy+3z^2\right)=6z.

Смешанные производные:
uxy=uyx=x(xz+2y)=z, u_{xy}=\frac{\partial u_y}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(xz+2y)=z,

uyz=uzy=y(xy+3z2)=x, u_{yz}=\frac{\partial u_z}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}\left(xy+3z^2\right)=x,

uzx=uxz=z(yz+1)=y. u_{zx}=\frac{\partial u_x}{\partial z}=\frac{\partial }{\partial z}(yz+1)=y.

Здесь использованы обозначения

ux=uxu_x=\frac{\partial u}{\partial x},

uyy=2uy2u_{yy}=\frac{\partial^2 u}{\partial y^2},

uzx=2uzxu_{zx}=\frac{\partial^2 u}{\partial z\partial x} и т.д.

для частных производных.

Автор статьи
+0
-0
Комментарии
Нет комментариев

Интересные статьи за сегодня

Как составить резюме молодому специалисту

Что написать в резюме, если вы только окончили вуз и у вас нет опыта?
51 +39
0

Кто в России счастлив на работе

Кто в России счастлив на работе?
435 +27
4

Антиплагиат: что это такое

Детальный обзор систем антиплагиата: как с ними работать и как повысить уникальность
3538 +26
0

Как защищать курсовую работу

О том, как преподнести себя публике и уберечь нервную систему (не только свою), представляя свое научное детище, – читайте в нашей статье.
200 +25
1
Хотите выполнять заказы?
Стать автором
Хотите заказать работу?
Разместить заказ